📄 Treść zadania
Trójkąt, w którym długości boków są do siebie w stosunku \(3:4:5\) nazywa się trójkątem egipskim. Z odcinków o jakich długościach nie można zbudować trójkąta egipskiego?
A
\(6, 8, 10\)
B
\(9, 12, 15\)
C
\(12, 20, 25\)
D
\(21, 28, 35\)
Zadanie można rozwiązać na wiele sposobów, ale spróbujmy to przeanalizować jak najbardziej matematycznie. Jeżeli stosunek długości boków ma być równy \(3:4:5\), to nasze odcinki muszą mieć długość \(3x\), \(4x\) oraz \(5x\). Krótko mówiąc - każdy kolejny bok musi być tyle samo razy większy od trójki, czwórki lub piątki.
Jeżeli więc pierwszy odcinek miałby mieć długość \(6\) (co jest wartością dwa razy większą od \(3\)), to drugi odcinek musi mieć długość \(8\) (czyli dwa razy więcej niż \(4\)), a trzeci odcinek musi mieć długość \(10\) (czyli dwa razy więcej niż \(5\)). Wymiary \(6,8,10\) są więc jak najbardziej poprawne.
Jeżeli pierwszy odcinek miałby mieć długość \(9\) (co jest wartością trzy razy większą od \(3\)), to drugi odcinek musi mieć długość \(12\) (czyli trzy razy więcej niż \(4\)), a trzeci odcinek musi mieć długość \(15\) (czyli trzy razy więcej niż \(5\)). Wymiary \(9,12,15\) są więc jak najbardziej poprawne.
Jeżeli pierwszy odcinek miałby mieć długość \(12\) (co jest wartością cztery razy większą od \(3\)), to drugi odcinek musi mieć długość \(16\) (czyli cztery razy więcej niż \(4\)), a trzeci odcinek musi mieć długość \(20\) (czyli cztery razy więcej niż \(5\)). Wymiary \(12,20,25\) są więc niepoprawne (powinno to być \(12,16,20\)).
Jeżeli pierwszy odcinek miałby mieć długość \(21\) (co jest wartością siedem razy większą od \(3\)), to drugi odcinek musi mieć długość \(28\) (czyli siedem razy więcej niż \(4\)), a trzeci odcinek musi mieć długość \(35\) (czyli siedem razy więcej niż \(5\)). Wymiary \(21,28,35\) są więc jak najbardziej poprawne.