LekcjeRazem

Krok 1. Rozpisanie pól powierzchni.
Spójrzmy najpierw na pole trapezu \(ABCD\). Jest on sumą pól czworokąta \(ABED\) oraz trójkąta \(ECD\). Możemy więc zapisać, że:
$$P_{ABCD}=P_{ABED}+P_{ECD}$$

Teraz spójrzmy na trójkąt \(AFD\). Tutaj także jedną z części składowych jest czworokąt \(ABED\) oraz trójkąt \(BFE\):
$$P_{AFD}=P_{ABED}+P_{BFE}$$

Skoro tak, to wystarczyłoby udowodnić że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi, czyli że mają jednakowe wymiary i pole powierzchni.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego i przeprowadzenie dowodzenia.
Spróbujmy wprowadzić oznaczenia kątów na naszym rysunku:


Kąty \(CED\) oraz \(FEB\) są kątami wierzchołkowymi, więc na pewno mają tą samą miarę.
Kąty \(EBF\) oraz \(ECD\) to kąty naprzemianległe, więc także mają jednakową miarę.
Dodatkowo z treści zadania wiemy, że \(|CE|=|EB|\).

Na podstawie tych informacji możemy stwierdzić, że trójkąty \(ECD\) oraz \(BFE\) są trójkątami przystającymi na podstawie cechy przystawania trójkątów kąt-bok-kąt. Skoro są to trójkąty przystające to miara ich pól powierzchni jest jednakowa, co ostatecznie powoduje że \(P_{ABCD}=P_{AFD}\).