📄 Treść zadania
Asia, Kasia i Wojtek przesadzają kwiatki do doniczek. Każde z nich ma \(6\)-litrowy worek ziemi ogrodniczej i doniczki dwóch wielkości. Asia wykorzystała całą ziemię, którą dysponowała, i napełniła \(2\) duże doniczki i \(9\) małych. Kasia całą swoją ziemię zużyła do wypełnienia \(4\) dużych i \(6\) małych doniczek. Wojtek chciałby wypełnić ziemią \(5\) dużych i \(4\) małe doniczki. Czy wystarczy mu ziemi, którą ma w worku? Uzasadnij odpowiedź.
Jest bardzo wiele sposobów by dojść do odpowiedzi na postawione pytanie, ale najprostszą metodą będzie po prostu ułożenie i rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Krok 1. Ułożenie układu równań.
Wprowadźmy sobie następujące oznaczenia:
\(x\) - pojemność dużej doniczki
\(y\) - pojemność małej doniczki
Wiemy, że Asia użyła \(2\) doniczek dużych i \(9\) małych, wypełniając je sześcioma litrami ziemi, zatem:
$$2x+9y=6$$
W przypadku Wojtka wiemy, że użył on \(4\) duże doniczki i \(6\) małych, zatem:
$$4x+6y=6$$
Mamy dwa równania, więc powstał nam następujący układ równań:
$$\begin{cases}
2x+9y=6 \ ,\
4x+6y=6
\end{cases}$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Musimy rozwiązać powstały układ równań. Najprościej będzie chyba wymnożyć pierwsze równanie przez \(2\) i zastosować metodę podstawiania:
\begin{cases}
2x+9y=6 \quad\bigg/\cdot2\ ,\
4x+6y=6
\end{cases}
\begin{cases}
4x+18y=12 \ ,\
4x+6y=6
\end{cases}
\begin{cases}
4x=12-18y \ ,\
4x+6y=6
\end{cases}
Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$12-18y+6y=6 \ ,\
-12y=-6 \ ,\
y=0,5[litra]$$
Znając wartość igreka możemy go podstawić do dowolnego równania i wyznaczyć w ten sposób wartość iksa. Podstawiając \(y=0,5\) do pierwszego równania otrzymamy:
$$2x+9\cdot0,5=6 \ ,\
2x+4,5=6 \ ,\
2x=1,5 \ ,\
x=0,75[litra]$$
To oznacza, że rozwiązaniem naszego układu równań jest para liczb:
$$\begin{cases}
x=0,75 \ ,\
y=0,5
\end{cases}$$
Krok 3. Analiza otrzymanych wyników.
Przedmiotem naszego zadania nie jest jednak tylko wyznaczenie pojemności doniczek, ale odpowiedź na pytanie czy Wojtek jest w stanie zapełnić ziemią swoje doniczki. Skoro Wojtek ma \(5\) duży doniczek i \(4\) małe, to pojemność jego doniczek jest równa:
$$5\cdot0,75+4\cdot0,5=3,75+2=5,75[litra]$$
Wniosek z tego jest taki, że skoro Wojtek ma \(6\) litrów ziemi, a jego doniczki mają objętość równą \(5,75\) litra, to znaczy że chłopcu jak najbardziej wystarczy ziemi i jeszcze zostanie mu w worku \(6-5,75=0,25\) litra ziemi.