Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Zadania z parametrem — funkcja kwadratowa
Na czym polegają
W równaniu lub nierówności występuje dodatkowa litera (parametr, zwykle $m$). Pytamy, dla jakich jej wartości spełniony jest zadany warunek. Kluczem jest zwykle delta.
Warunki na liczbę pierwiastków
$$\Delta>0 \Rightarrow \text{dwa różne pierwiastki}$$
$$\Delta=0 \Rightarrow \text{jeden pierwiastek podwójny}$$
$$\Delta<0 \Rightarrow \text{brak pierwiastków rzeczywistych}$$
Przykład: $x^2+mx+4=0$ ma dwa pierwiastki, gdy $m^2-16>0$, czyli $m<-4$ lub $m>4$.
Warunek na funkcję kwadratową
Zanim policzysz deltę, sprawdź, czy funkcja w ogóle jest kwadratowa — współczynnik przy $x^2$ musi być różny od zera. Dla $f(x)=(m-1)x^2+3x+1$ potrzeba $m\ne1$.
Znaki pierwiastków (wzory Viète’a)
$$x_1+x_2=\frac{-b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$$
- oba dodatnie: $\Delta\ge0$, suma $>0$, iloczyn $>0$
- oba ujemne: $\Delta\ge0$, suma $<0$, iloczyn $>0$
- różnych znaków: iloczyn $<0$ (delta wtedy automatycznie dodatnia)
Nierówność spełniona dla każdego x
Wyrażenie $ax^2+bx+c>0$ jest prawdziwe dla wszystkich $x$ dokładnie wtedy, gdy $a>0$ i $\Delta<0$ — parabola leży w całości nad osią.
Na co uważać
Warunki trzeba łączyć: najpierw dziedzina parametru (np. $a\ne0$), potem warunek na deltę, na końcu ewentualne warunki Viète’a. Rozwiązaniem jest część wspólna wszystkich, a nie tylko ostatni otrzymany przedział.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.