Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Wyrażenia wymierne — działania i dziedzina
Dziedzina przede wszystkim
Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów. Zanim cokolwiek policzymy, wykluczamy miejsca zerowe mianownika.
Dla $\frac{x}{x^2-16}$ mamy $x\neq4$ i $x\neq-4$. Pominięcie wartości ujemnej to najczęstszy błąd.
Skracanie — tylko czynniki
Skracać wolno wyłącznie wspólny czynnik licznika i mianownika, nigdy składnik sumy.
$$\frac{x(x+2)}{x}=x+2 \ ✔ \qquad \frac{x+3}{x+5}\neq\frac{3}{5} \ ✘$$
Test liczbowy rozstrzyga wątpliwości: dla $x=1$ mamy $\frac{4}{6}=\frac23$, a nie $\frac35$.
Założenia zostają po skróceniu
$$\frac{x^2-4}{x+2}=x-2 \quad\text{ale tylko dla } x\neq-2$$
Skrócenie nie „naprawia” dziedziny — wyrażenie po lewej stronie dla $x=-2$ nie istnieje, choć prawa strona dałaby $-4$.
Mnożenie i dzielenie
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$
Dzielenie to mnożenie przez odwrotność. Przy dzieleniu dochodzi dodatkowy warunek: dzielnik też nie może być zerem.
Dodawanie i odejmowanie
Sprowadzamy do wspólnego mianownika. Dla $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$ wspólnym mianownikiem jest $x(x+1)$:
$$\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x^2+x}$$
Przy odejmowaniu uwaga na minus przed nawiasem: $\frac{3x-(x-2)}{\dots}=\frac{2x+2}{\dots}$, a nie $3x-x-2$.
Kolejność pracy
- rozłóż licznik i mianownik na czynniki
- ustal dziedzinę — z mianownika przed skróceniem
- skróć, co się da
- wykonaj działanie
- przypomnij założenia w odpowiedzi
Równania wymierne
Po wyznaczeniu dziedziny mnożymy przez mianownik (wolno, bo w dziedzinie jest niezerowy) i rozwiązujemy. Na końcu obowiązkowo sprawdzamy, czy wynik należy do dziedziny — inaczej ryzykujemy rozwiązanie obce.
Zastosowania — zadania o pracy
Gdy jeden malarz kończy w $4$ h, a drugi w $6$ h, ich wydajności to $\frac14$ i $\frac16$ pokoju na godzinę. Razem: $\frac14+\frac16=\frac{5}{12}$, więc czas to odwrotność, czyli $\frac{12}{5}=2{,}4$ h.
Nigdy nie uśredniaj czasów — średnia z $4$ i $6$ dałaby $5$ h, czyli dłużej niż praca szybszego malarza samego. To oczywisty nonsens.
Na co uważać
Trzy pułapki: skracanie składników zamiast czynników, pominięcie ujemnego pierwiastka w dziedzinie oraz zapomnienie o sprawdzeniu wyniku równania.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.