Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Wielomiany — definicja, stopień i pierwiastki
Liczba $x_0$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$, jeśli $W(x_0) = 0$. Twierdzenie Bezouta: $(x - x_0) \mid W(x) \Leftrightarrow W(x_0) = 0$.
- Dodawanie/odejmowanie: zbierz wyrazy podobne (te same potęgi $x$)
- Mnożenie: każdy wyraz przez każdy (rozdzielność)
- Dzielenie: algorytm dzielenia wielomianów lub tw. Bezout
- Schemat Hornera: szybkie obliczanie wartości i dzielenie
- $W(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓
- Dzielimy przez $(x-1)$: $W(x) = (x-1)(x^2-5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3)$
- Pierwiastki: $x = 1, 2, 3$
Wielomiany
Pojęcia podstawowe
Wielomian stopnia $n$: $W(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$, gdzie $a_n\ne0$. Liczbę $a_n$ nazywamy współczynnikiem wiodącym, a $a_0$ — wyrazem wolnym.
Twierdzenie Bézouta
$$W(x)=(x-a)Q(x)+W(a)$$
Reszta z dzielenia przez dwumian $(x-a)$ równa się wartości wielomianu w punkcie $a$. Stąd kluczowy wniosek:
$$(x-a)\mid W(x) \iff W(a)=0$$
Uwaga na znak: dla dzielnika $(x+2)$ podstawiamy $a=-2$.
Pierwiastki wymierne
Jeśli współczynniki są całkowite, każdy pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ (ułamek nieskracalny) spełnia: $p$ dzieli wyraz wolny, $q$ dzieli współczynnik wiodący. Gdy $a_n=1$, pierwiastki wymierne są całkowite i dzielą wyraz wolny.
Rozkład na czynniki
Metody: wyłączanie przed nawias, grupowanie, wzory skróconego mnożenia, dzielenie przez znaleziony dwumian (schemat Hornera).
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
Nierówności wielomianowe
Rozkładamy na czynniki, zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy krzywą od prawej góry (gdy współczynnik wiodący jest dodatni). Przy pierwiastku o krotności nieparzystej krzywa przechodzi przez oś, przy parzystej — odbija się.
Na co uważać
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wskazuje tylko kandydatów — każdego trzeba sprawdzić podstawieniem. Nie gwarantuje też, że pierwiastki wymierne w ogóle istnieją (wielomian $x^3-2$ nie ma żadnego).
Rozkład wielomianów — techniki i kolejność kroków
Po co rozkładać
Rozkład na czynniki zamienia równanie wielomianowe na iloczyn, który jest zerem tylko wtedy, gdy zeruje się któryś czynnik. To najskuteczniejsza metoda rozwiązywania równań wyższych stopni.
Kolejność działań
- Wspólny czynnik — zawsze najpierw wyłączamy największy wspólny czynnik.
- Wzory skróconego mnożenia — różnica kwadratów, sześcianów, kwadrat sumy/różnicy.
- Grupowanie — gdy powyższe nie działają.
Przykład pełnego rozkładu: $2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x-2)(x+2)$.
Grupowanie
$$x^3-3x^2+2x-6=x^2(x-3)+2(x-3)=(x-3)(x^2+2)$$
Grupujemy wyrazy tak, by po wyłączeniu powstał ten sam nawias.
Różnica i suma sześcianów
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
W drugim czynniku różnicy sześcianów wszystkie znaki są dodatnie.
Czego nie da się rozłożyć
Suma kwadratów $x^2+a^2$ (dla $a\neq0$) nie ma pierwiastków rzeczywistych — nie rozkłada się na czynniki liniowe.
Krotność pierwiastka
W $(x-1)^2(x+3)$ pierwiastek $1$ jest podwójny, $-3$ pojedynczy — dwie różne wartości, ale trzy czynniki liniowe.
Na co uważać
Zawsze doprowadzaj rozkład do końca. Pominięcie wyłączenia wspólnego czynnika daje rozkład niepełny.
Dodawanie i odejmowanie wielomianów (klasa 2 LO)
Wielomian
Wyrażenie postaci $a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$. Stopień to najwyższy wykładnik zmiennej o niezerowym współczynniku.
Dodawanie
Redukujemy wyrazy podobne — o tej samej potędze $x$.
Odejmowanie
Zmieniamy znaki wszystkich wyrazów odjemnika, a potem dodajemy.
Stopień sumy
Nie przekracza większego ze stopni; może się obniżyć, gdy skasują się wyrazy najwyższego stopnia.
Wielomiany — zastosowania (klasa 2 LO)
Modele
Wielomiany opisują objętości, pola i zależności w zadaniach.
Równania
Rozwiązujemy je, rozkładając na czynniki.
Optymalizacja
Ekstrema wyznaczamy, badając wielomian i jego wykres.
Przykład
Objętość pudełka jako funkcja długości boku prowadzi do wielomianu trzeciego stopnia.
Wzory skróconego mnożenia dla wielomianów (klasa 2 LO)
Kwadraty
$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$.
Różnica kwadratów
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Sześciany
$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$ oraz $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$.
Zastosowanie
Rozkład wielomianów na czynniki i upraszczanie wyrażeń.
Wielomiany — zagadnienia uzupełniające (klasa 2 LO)
Działania
Dodawanie, mnożenie i dzielenie wielomianów (z resztą).
Twierdzenie Bézouta
Reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-a)$ równa się $W(a)$.
Pierwiastki wymierne
Szukamy ich wśród dzielników wyrazu wolnego.
Rozkład
Postać iloczynowa ułatwia rozwiązywanie równań wielomianowych.
7 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.