Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Wektory i iloczyn skalarny
Wektor i jego współrzędne
$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$$
Od końca odejmujemy początek. Wektor $\vec{BA}$ ma te same liczby ze zmienionym znakiem — to wektor przeciwny.
Działania
$$\vec{u}\pm\vec{v}=[u_1\pm v_1,\ u_2\pm v_2],\qquad k\vec{u}=[ku_1,\ ku_2]$$
Mnożenie przez liczbę dodatnią zmienia długość, zachowując kierunek i zwrot. Liczba ujemna dodatkowo odwraca zwrot.
Długość wektora
$$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
To twierdzenie Pitagorasa w przebraniu.
Wektor jednostkowy
$$\vec{e}=\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}$$
Dla $\vec{u}=[3,-4]$ długość wynosi $5$, więc $\vec{e}=\left[\frac35,-\frac45\right]$. Sprawdzenie: $\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=1$ ✔
Iloczyn skalarny
$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$$
Wynikiem jest liczba, nie wektor — to pierwsza rzecz do zapamiętania.
Co mówi znak iloczynu
- dodatni — kąt ostry
- zero — kąt prosty
- ujemny — kąt rozwarty
Długości są zawsze dodatnie, więc o znaku decyduje wyłącznie $\cos\alpha$.
Prostopadłość i równoległość
$$\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$$
$$\vec{u}\parallel\vec{v} \iff \vec{v}=k\vec{u} \ \text{dla pewnego } k$$
Przykład: $[3,\,4]$ i $[-8,\,6]$ są prostopadłe, bo $-24+24=0$. Natomiast $[2,\,6]$ i $[1,\,3]$ są równoległe, bo pierwszy to podwojony drugi.
Kąt między wektorami
$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$
Dla $[1,\,\sqrt3]$ i $[\sqrt3,\,1]$: iloczyn to $2\sqrt3$, obie długości po $2$, więc $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ i $\alpha=30^\circ$.
Kwadrat długości
$$\vec{u}\circ\vec{u}=|\vec{u}|^2$$
Bo kąt wektora z samym sobą wynosi $0^\circ$, a $\cos0^\circ=1$.
Zastosowania
Przesunięcie punktu: do współrzędnych punktu dodajemy współrzędne wektora.
Czwarty wierzchołek równoległoboku $ABCD$: korzystamy z $\vec{AD}=\vec{BC}$.
Kąt prosty w trójkącie: wystarczy pokazać, że iloczyn skalarny dwóch boków wychodzących z wierzchołka wynosi zero.
Na co uważać
Nie myl iloczynu skalarnego z mnożeniem współrzędnych „po parach” dającym wektor — wynik jest liczbą. Przy wyznaczaniu wektora z dwóch punktów zawsze odejmuj początek od końca, nie odwrotnie.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.