Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Statystyka opisowa
Miary położenia
Średnia arytmetyczna:
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$
Mediana — wartość środkowa w uporządkowanym zestawie. Przy parzystej liczbie danych to średnia dwóch wyrazów środkowych.
Dominanta (moda) — wartość występująca najczęściej.
Średnia ważona
$$\bar{x}_w=\frac{\sum w_ix_i}{\sum w_i}$$
Stosujemy, gdy dane mają różną istotność (np. oceny o różnych wagach).
Miary rozrzutu
Wariancja i odchylenie standardowe:
$$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,\qquad \sigma=\sqrt{\sigma^2}$$
Odchylenie standardowe mówi, jak bardzo dane są rozproszone wokół średniej. Ma tę samą jednostkę co dane; wariancja — jednostkę kwadratową.
Rozstęp to różnica między największą a najmniejszą wartością.
Przykład
Dane $2,4,4,6$: $\bar{x}=4$; odchylenia $-2,0,0,2$; $\sigma=\sqrt{\frac{4+0+0+4}{4}}=\sqrt{2}\approx1{,}41$.
Na co uważać
Przed wyznaczeniem mediany dane trzeba uporządkować. Suma samych odchyleń od średniej zawsze wynosi zero — dlatego podnosimy je do kwadratu. Mediana bywa lepszą miarą niż średnia, gdy w danych są wartości skrajne.
Statystyka opisowa — średnia, mediana, moda
- Średnia arytmetyczna $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \dfrac{\sum x_i}{n}$
- Mediana — wartość środkowa po posortowaniu danych. Dla parzystej liczby danych: średnia dwóch środkowych.
- Moda (dominanta) — wartość lub wartości występujące najczęściej w zbiorze.
- Średnia — gdy dane są równomiernie rozłożone, brak skrajnych wartości
- Mediana — gdy są wartości odstające (np. zarobki: kilka osób bardzo bogatych zawyża średnią)
- Moda — gdy szukasz "najpopularniejszego" (np. najczęstszy rozmiar buta w sklepie)
- Średnia: $\frac{2+4+4+6+8+10+100}{7} = \frac{134}{7} \approx 19{,}1$ (zawyżona przez 100!)
- Mediana: po sortowaniu środkowy to $6$ (lepiej oddaje "typową" wartość)
- Moda: $4$ (pojawia się 2 razy)
Średnia, mediana, moda — porównanie miar tendencji
Średnia arytmetyczna: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ — wrażliwa na wartości odstające.
Mediana $Me$: środkowa wartość w uporządkowanym ciągu — odporna na odstające.
Moda $Mo$: wartość najczęstsza — może nie być jedyna lub może nie istnieć.
Dla symetrycznych rozkładów: $\bar{x} = Me = Mo$.
Rozkład lewostronnie skośny: $Mo > Me > \bar{x}$; prawostronnie: $Mo < Me < \bar{x}$.
Dane: 2, 3, 3, 5, 7, 100: $\bar{x}=20$, $Me=4$, $Mo=3$. Outlier 100 "zawyża" średnią — mediana lepiej opisuje typową wartość.
Zarobki → użyj mediany (Bill Gates wchodzi do baru i średnia zarobków gwałtownie rośnie).
Rozstęp i kwartyle — miary rozproszenia
Rozstęp: $R = x_{max} - x_{min}$ — najprostsza miara rozproszenia.
Kwartyle: $Q_1$ (25%), $Q_2 = Me$ (mediana, 50%), $Q_3$ (75%).
Rozstęp ćwiartkowy: $IQR = Q_3 - Q_1$ — odporna miara rozproszenia.
Wyznaczanie kwartyli: uporządkuj dane, podziel na cztery równe ćwiartki.
Wartości odstające (outliers): $x < Q_1 - 1{,}5\cdot IQR$ lub $x > Q_3 + 1{,}5\cdot IQR$.
Dane: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12. $Q_1=4$, $Q_2=7$, $Q_3=10$. $IQR=6$. $R=10$.
$IQR$ jest odporny na wartości odstające; rozstęp — bardzo wrażliwy.
Średnia arytmetyczna — obliczanie krok po kroku
- Średnia ocen w szkole
- Średnia temperatura miesiąca
- Średnia prędkość w podróży
Mediana — środkowy wynik w zbiorze danych
- Mediana zarobków (odporna na skrajne wartości)
- Mediana cen nieruchomości
- Lepiej niż średnia gdy są duże skoki w danych
Moda — najczęstszy wynik w danych
- Najpopularniejszy rozmiar butów w sklepie
- Najczęstsza odpowiedź w ankiecie
- Typowy czas przejazdu autobusem
7 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.