Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Funkcje wymierne
Hiperbola
$$f(x)=\frac{a}{x},\qquad a\ne0,\ x\ne0$$
Dla $a>0$ gałęzie leżą w I i III ćwiartce, dla $a<0$ — w II i IV. Osie układu są asymptotami.
Funkcja homograficzna
$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad c\ne0,\ ad-bc\ne0$$
$$\text{asymptota pionowa: } x=-\frac{d}{c},\qquad \text{pozioma: } y=\frac{a}{c}$$
Warunek $ad-bc\ne0$ gwarantuje, że funkcja nie redukuje się do stałej.
Dziedzina
Wyznaczamy ją zawsze na początku: mianownik musi być różny od zera. Dla $f(x)=\frac{x+2}{x^2-9}$ mamy $x\ne\pm3$.
Równania wymierne
$$\frac{P(x)}{Q(x)}=0 \iff P(x)=0 \ \land\ Q(x)\ne0$$
Ułamek jest zerem, gdy licznik się zeruje, a mianownik nie.
Nierówności wymierne
$$\frac{P(x)}{Q(x)}>0 \iff P(x)\cdot Q(x)>0$$
Iloraz i iloczyn mają ten sam znak, więc nierówność wymierną sprowadzamy do iloczynowej i rozwiązujemy metodą siatki znaków.
Na co uważać
Nigdy nie mnóż nierówności przez mianownik — nie znasz jego znaku, więc nie wiesz, czy odwrócić kierunek. Zamiast tego przenieś wszystko na jedną stronę i sprowadź do wspólnego mianownika. Na końcu odrzuć rozwiązania spoza dziedziny.
Równania wymierne
Czym jest równanie wymierne
To równanie, w którym niewiadoma występuje w mianowniku. Przez to pojawia się ograniczenie dziedziny, którego nie wolno pominąć.
Schemat rozwiązywania
- Wyznacz dziedzinę — przyrównaj każdy mianownik do zera i wyklucz te wartości
- sprowadź obie strony do wspólnego mianownika albo pomnóż równanie przez mianowniki
- rozwiąż powstałe równanie wielomianowe
- Skonfrontuj wyniki z dziedziną i odrzuć te, które do niej nie należą
Krok pierwszy i czwarty są równie ważne jak sam rachunek.
Kiedy ułamek jest zerem
$$\frac{W(x)}{M(x)}=0 \iff W(x)=0 \ \text{ oraz } \ M(x)\neq0$$
O zerowaniu decyduje wyłącznie licznik — mianownik odpowiada tylko za dziedzinę.
Przykład
Równanie $\frac{x+2}{x-1}=2$. Dziedzina: $x\neq1$.
$$x+2=2(x-1) \quad\Rightarrow\quad x+2=2x-2 \quad\Rightarrow\quad x=4$$
Wynik $4$ należy do dziedziny, więc jest rozwiązaniem.
Przykład z odrzuceniem
Równanie $\frac{x+3}{x-2}=1$ prowadzi do $x+3=x-2$, czyli $3=-2$ — sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązań.
Działania na wyrażeniach wymiernych
- skracanie — tylko przez wspólny czynnik licznika i mianownika, nigdy przez składnik
- dodawanie i odejmowanie — sprowadzamy do wspólnego mianownika
- mnożenie — licznik przez licznik, mianownik przez mianownik
- dzielenie — mnożymy przez odwrotność
Funkcja homograficzna
Wykresem $f(x)=\frac{a}{x}$ jest hiperbola z asymptotami $x=0$ i $y=0$. Postać $f(x)=\frac{a}{x-p}+q$ przesuwa ją o wektor $[p,\,q]$, a asymptoty stają się $x=p$ i $y=q$.
Na co uważać
Mnożenie równania przez wyrażenie z niewiadomą może wprowadzić rozwiązania obce — dlatego końcowe sprawdzenie dziedziny jest obowiązkowe. Po skróceniu wyrażenia założenia nadal obowiązują: $\frac{x^2-4}{x+2}=x-2$, ale wyłącznie dla $x\neq-2$.
Wyrażenia wymierne — działania i dziedzina
Dziedzina przede wszystkim
Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów. Zanim cokolwiek policzymy, wykluczamy miejsca zerowe mianownika.
Dla $\frac{x}{x^2-16}$ mamy $x\neq4$ i $x\neq-4$. Pominięcie wartości ujemnej to najczęstszy błąd.
Skracanie — tylko czynniki
Skracać wolno wyłącznie wspólny czynnik licznika i mianownika, nigdy składnik sumy.
$$\frac{x(x+2)}{x}=x+2 \ ✔ \qquad \frac{x+3}{x+5}\neq\frac{3}{5} \ ✘$$
Test liczbowy rozstrzyga wątpliwości: dla $x=1$ mamy $\frac{4}{6}=\frac23$, a nie $\frac35$.
Założenia zostają po skróceniu
$$\frac{x^2-4}{x+2}=x-2 \quad\text{ale tylko dla } x\neq-2$$
Skrócenie nie „naprawia” dziedziny — wyrażenie po lewej stronie dla $x=-2$ nie istnieje, choć prawa strona dałaby $-4$.
Mnożenie i dzielenie
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$
Dzielenie to mnożenie przez odwrotność. Przy dzieleniu dochodzi dodatkowy warunek: dzielnik też nie może być zerem.
Dodawanie i odejmowanie
Sprowadzamy do wspólnego mianownika. Dla $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$ wspólnym mianownikiem jest $x(x+1)$:
$$\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x^2+x}$$
Przy odejmowaniu uwaga na minus przed nawiasem: $\frac{3x-(x-2)}{\dots}=\frac{2x+2}{\dots}$, a nie $3x-x-2$.
Kolejność pracy
- rozłóż licznik i mianownik na czynniki
- ustal dziedzinę — z mianownika przed skróceniem
- skróć, co się da
- wykonaj działanie
- przypomnij założenia w odpowiedzi
Równania wymierne
Po wyznaczeniu dziedziny mnożymy przez mianownik (wolno, bo w dziedzinie jest niezerowy) i rozwiązujemy. Na końcu obowiązkowo sprawdzamy, czy wynik należy do dziedziny — inaczej ryzykujemy rozwiązanie obce.
Zastosowania — zadania o pracy
Gdy jeden malarz kończy w $4$ h, a drugi w $6$ h, ich wydajności to $\frac14$ i $\frac16$ pokoju na godzinę. Razem: $\frac14+\frac16=\frac{5}{12}$, więc czas to odwrotność, czyli $\frac{12}{5}=2{,}4$ h.
Nigdy nie uśredniaj czasów — średnia z $4$ i $6$ dałaby $5$ h, czyli dłużej niż praca szybszego malarza samego. To oczywisty nonsens.
Na co uważać
Trzy pułapki: skracanie składników zamiast czynników, pominięcie ujemnego pierwiastka w dziedzinie oraz zapomnienie o sprawdzeniu wyniku równania.
Równania i nierówności wymierne
Pierwszy krok: dziedzina
W wyrażeniu wymiernym mianownik nie może być zerem. Dziedzinę wyznaczamy zawsze przed rozwiązaniem i na końcu sprawdzamy, czy wynik do niej należy.
Kiedy ułamek jest zerem
$$\frac{L(x)}{M(x)}=0 \iff L(x)=0 \ \text{i} \ M(x)\neq0$$
O zerowaniu decyduje licznik; mianownik musi być tylko różny od zera.
Rozwiązywanie równań
Mnożymy obie strony przez mianownik (lub przez wspólny mianownik), rozwiązujemy i odrzucamy pierwiastki spoza dziedziny. Alternatywnie mnożymy „na krzyż”.
Nierówności — uwaga na znak
Nie wolno mnożyć nierówności przez mianownik o zmiennym znaku — nie wiadomo, czy odwrócić znak. Zamiast tego:
$$\frac{L}{M}>0 \iff L\cdot M>0$$
Iloraz i iloczyn mają ten sam znak, więc badamy znak iloczynu w przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe licznika i mianownika.
Krańce przedziałów
Przy nierówności nieostrej pierwiastek licznika domykamy (ułamek równy zeru jest dozwolony), ale pierwiastek mianownika zawsze wykluczamy — to punkt spoza dziedziny.
Zadania o wspólnej pracy
Dodajemy wydajności (odwrotności czasów). Gdy jedna ekipa robi coś w $6$ dni, druga w $12$, to $\frac x6+\frac x{12}=1$ daje $x=4$ dni wspólnej pracy.
Na co uważać
Najczęstszy błąd to pominięcie dziedziny i przyjęcie pierwiastka „obcego”, który zeruje mianownik.
Funkcje wymierne — zagadnienia uzupełniające (klasa 2 LO)
Dziedzina
Wykluczamy argumenty zerujące mianownik.
Równania wymierne
Rozwiązujemy, mnożąc przez mianownik i sprawdzając dziedzinę.
Asymptoty
Pionowe w miejscach zerowania mianownika, pozioma zależna od stopni.
Skracanie
Po skróceniu punkt wykluczony pozostaje poza dziedziną.
5 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.