Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Równania trygonometryczne — metody rozwiązywania
Podstawowe rozwiązania ogólne:
$\sin x = a$ → $x = (-1)^k \arcsin a + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
$\cos x = a$ → $x = \pm \arccos a + 2k\pi$
$\tan x = a$ → $x = \arctan a + k\pi$
Techniki: podstawienie $t = \tan\frac{x}{2}$ (Weierstrass), tożsamości sumy-iloczynu, sprowadzenie do jednej funkcji.
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ — eliminacja jednej funkcji.
$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$: podstaw $t = \sin x$ → $(2t+1)(t-1)=0$ → $\sin x = -\frac{1}{2}$ lub $\sin x = 1$.
Zawsze sprawdź, czy rozwiązania należą do żądanego przedziału (np. $[0°, 360°]$).
Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
Miara łukowa
$$180^\circ=\pi\ \text{rad},\qquad \alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\text{st}}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}$$
Najczęstsze: $30^\circ=\frac{\pi}{6}$, $45^\circ=\frac{\pi}{4}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $90^\circ=\frac{\pi}{2}$.
$$l=r\alpha,\qquad P_{\text{wycinka}}=\frac{1}{2}r^2\alpha \qquad(\alpha \text{ w radianach})$$
Znaki w ćwiartkach
W I ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w II — tylko sinus, w III — tangens i cotangens, w IV — cosinus.
Wzory redukcyjne
$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$$
$$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$
Przy kątach $90^\circ$ i $270^\circ$ funkcja zmienia się na kofunkcję (sin↔cos), przy $180^\circ$ i $360^\circ$ — pozostaje ta sama.
Okresowość
Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens i cotangens — okres $\pi$.
Wzory na sumę kątów
$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$
$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$
Równania trygonometryczne
$$\sin x=a \Rightarrow x=\alpha+2k\pi \ \lor\ x=\pi-\alpha+2k\pi$$
$$\cos x=a \Rightarrow x=\pm\alpha+2k\pi,\qquad \operatorname{tg} x=a \Rightarrow x=\alpha+k\pi$$
Na co uważać
We wzorach $l=r\alpha$ kąt musi być w radianach. Równanie $\sin x=a$ ma w każdym okresie dwa rozwiązania — pominięcie serii $\pi-\alpha$ to klasyczny błąd. W cosinusie znaki we wzorze na sumę są przeciwne niż w sinusie.
Równania trygonometryczne
Wartości kątów szczególnych
$$\sin 30^\circ=\tfrac12,\quad \sin 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2},\quad \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$$
$$\cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2},\quad \cos 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2},\quad \cos 60^\circ=\tfrac12$$
$$\tg 30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3},\quad \tg 45^\circ=1,\quad \tg 60^\circ=\sqrt3$$
Znaki w ćwiartkach
- I ćwiartka — wszystkie funkcje dodatnie
- II — dodatni tylko sinus
- III — dodatni tylko tangens
- IV — dodatni tylko cosinus
Jedynka trygonometryczna
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$
Zachodzi dla dowolnego kąta. Pozwala policzyć jedną funkcję ze znajomości drugiej, ale daje tylko wartość bezwzględną — znak rozstrzyga informacja o ćwiartce.
Pozostałe tożsamości
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad 1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$$
Rozwiązywanie prostych równań
Schemat: wyznacz wartość funkcji, znajdź kąt podstawowy, a potem wszystkie kąty w zadanym przedziale.
- dla $\sin x=a$ drugie rozwiązanie to $180^\circ-\alpha$
- dla $\cos x=a$ drugie rozwiązanie to $360^\circ-\alpha$
- dla $\tg x=a$ kolejne rozwiązania powtarzają się co $180^\circ$
Przykład
Równanie $2\sin x=1$ w przedziale $\langle 0^\circ,\,360^\circ)$. Z $\sin x=\frac12$ mamy kąt podstawowy $30^\circ$, a drugie rozwiązanie to $180^\circ-30^\circ=150^\circ$.
Miara łukowa
$$180^\circ=\pi,\qquad \text{stopnie}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\text{radiany}$$
Warto pamiętać: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$, $\frac{\pi}{4}=45^\circ$, $\frac{\pi}{3}=60^\circ$, $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
Okresowość
Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens $\pi$. Dlatego równanie trygonometryczne ma na całej osi nieskończenie wiele rozwiązań — zadanie zwykle ogranicza je do przedziału.
Na co uważać
Najczęstszy błąd to podanie tylko jednego rozwiązania. Na pełnym okręgu równanie z sinusem lub cosinusem ma zwykle dwa rozwiązania — sprawdź obie ćwiartki, w których dana funkcja ma właściwy znak.
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych krok po kroku
Równania podstawowe
$$\sin x=0 \Rightarrow x=k\pi$$
$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$
$$\operatorname{tg}x=0 \Rightarrow x=k\pi$$
gdzie $k\in\mathbb{Z}$.
Sprawdź zakres wartości
Sinus i cosinus mieszczą się w $\langle-1,\ 1\rangle$. Równania $\sin x=2$ czy $\cos x=-3$ nie mają rozwiązań — warto to sprawdzić na samym początku.
Dwa rozwiązania na okres
Dla wartości z wnętrza przedziału $(-1,\ 1)$ sinus i cosinus dają zwykle dwa rozwiązania w każdym okresie. Znajdujemy kąt podstawowy i drugą wartość z odpowiedniej ćwiartki.
Okresy
Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens — $\pi$. Dlatego $\operatorname{tg}x=1$ daje rozwiązania odległe o $\pi$: $\frac{\pi}{4}$ i $\frac{5\pi}{4}$.
Podstawienie
Równania typu $2\sin^2x+\sin x-1=0$ rozwiązujemy przez podstawienie $t=\sin x$, gdzie $t\in\langle-1,\ 1\rangle$. Pierwiastki spoza tego przedziału odrzucamy.
Argument złożony
W równaniu $\cos2x=\frac12$ podstawiamy $u=2x$. Gdy $x\in\langle0,\ 2\pi)$, to $u\in\langle0,\ 4\pi)$ — przedział dwukrotnie dłuższy, więc rozwiązań jest więcej.
Rozkład na czynniki
Równanie $\sin x\cos x=0$ rozwiązujemy, przyrównując każdy czynnik do zera. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik znika.
Na co uważać
Uwzględniaj oba znaki przy $\cos^2x=\frac14$. Pilnuj przedziału, w którym szukasz rozwiązań, i pamiętaj o różnych okresach funkcji.
4 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.