Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Równania kwadratowe z parametrem
Wyróżnik decyduje o liczbie pierwiastków
$$\Delta>0 \Rightarrow \text{dwa różne},\quad \Delta=0 \Rightarrow \text{jeden podwójny},\quad \Delta<0 \Rightarrow \text{brak}$$
Warunki na parametr zaczynamy zwykle od odpowiedniej nierówności na $\Delta$.
Uwaga na współczynnik wiodący
Gdy parametr stoi przy $x^2$, trzeba osobno rozważyć przypadek, gdy jest zerem — wtedy równanie przestaje być kwadratowe. To standardowe zastrzeżenie.
Znaki pierwiastków przez Viète'a
Aby oba pierwiastki były dodatnie, potrzeba trzech warunków naraz:
$$\Delta\ge0,\qquad x_1+x_2>0,\qquad x_1 x_2>0$$
Dla dwóch ujemnych zmienia się tylko warunek na sumę (musi być ujemna). Dla różnych znaków wystarcza $x_1 x_2<0$ (wyróżnik jest wtedy automatycznie dodatni).
Parabola zawsze dodatnia
Nierówność $ax^2+bx+c>0$ zachodzi dla każdego $x$, gdy $a>0$ i $\Delta<0$ (parabola w górę, bez pierwiastków). Dla nieostrej $\ge0$ dopuszczamy $\Delta=0$.
Część wspólna warunków
Gdy zadanie daje kilka warunków, rozwiązaniem jest ich przecięcie. Warto wyznaczyć każdy osobno i nanieść na oś.
Styczność do osi
Parabola jest styczna do osi $OX$ dokładnie wtedy, gdy $\Delta=0$ — ma wtedy jeden punkt wspólny z osią (pierwiastek podwójny).
Na co uważać
Nie zapomnij o przypadku zerowego współczynnika wiodącego. Przy „co najmniej jeden pierwiastek” bierz $\Delta\ge0$, przy „dwa różne” — $\Delta>0$.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.