Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną
Definicja
Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi liczbowej — nigdy nie jest ujemna:
$$|a|=\begin{cases} a & \text{dla } a\ge 0 \ -a & \text{dla } a<0 \end{cases}$$
Interpretacja geometryczna
To najważniejsze narzędzie w tym dziale:
$$|a-b| = \text{odległość między liczbami } a \text{ i } b$$
Dlatego $|x-2|$ czytamy jako „odległość liczby $x$ od liczby $2$”, a samo $|x|$ jako „odległość $x$ od zera”.
Równania
Równanie $|W(x)|=a$ dla $a>0$ rozbijamy na dwa przypadki:
$$W(x)=a \quad \text{lub} \quad W(x)=-a$$
Przykład: $|x-3|=2$ daje $x-3=2$ lub $x-3=-2$, czyli $x=5$ lub $x=1$. Geometrycznie: szukamy liczb odległych o $2$ od liczby $3$.
Gdy $a<0$, równanie nie ma rozwiązań — odległość nie może być ujemna. Gdy $a=0$, rozwiązanie jest jedno.
Nierówności typu „mniejsze”
$$|x|0)$$
Rozwiązaniem jest przedział — liczby blisko zera. Przykład: $|x|<4$ daje $x\in(-4,\,4)$.
Nierówności typu „większe”
$$|x|\ge a \iff x\le -a \ \text{ lub } \ x\ge a$$
Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów — liczby daleko od zera. Przykład: $|x|\ge3$ daje $x\in(-\infty,\,-3\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$.
Ogólny wzorzec
$$|x-p| To przedział o środku $p$ i promieniu $r$ — bardzo wygodny sposób zapisu otoczenia punktu. Najczęstszy błąd to podanie tylko jednego rozwiązania równania — pamiętaj o obu przypadkach. Drugi to pomylenie kierunku nierówności: „mniejsze” daje jeden przedział w środku, „większe” daje dwa przedziały po bokach. Zawsze warto naszkicować oś liczbową.Własności
Na co uważać
Równania i nierówności z wartością bezwzględną (klasa 2 LO)
Wartość bezwzględna
$|x|$ to odległość $x$ od zera na osi liczbowej.
Równania
$|x|=a$ (dla $a\ge0$) ma rozwiązania $x=a$ lub $x=-a$.
Nierówności
$|x|
Interpretacja
$|x-c|$ to odległość $x$ od punktu $c$.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną — cz. 2 (klasa 2 LO)
Równania
$|ax+b|=c$ (dla $c\ge0$) rozbijamy na $ax+b=c$ oraz $ax+b=-c$.
Nierówności
$|ax+b|
Interpretacja
$|x-a|$ to odległość $x$ od $a$ na osi liczbowej.
Suma modułów
Równania z kilkoma modułami rozwiązujemy przedziałami.
3 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.