Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Równania z jedną niewiadomą
Przekształcenia równoważne
Równanie nie zmienia zbioru rozwiązań, gdy do obu stron dodamy (lub od obu odejmiemy) tę samą liczbę albo pomnożymy (podzielimy) obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.
Schemat rozwiązywania
- Usuwamy nawiasy
- Przenosimy niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą (zmieniając znak)
- Redukujemy wyrazy podobne
- Dzielimy przez współczynnik przy niewiadomej
- Sprawdzamy wynik przez podstawienie
Przykład: $2(x-3)=x+5 \Rightarrow 2x-6=x+5 \Rightarrow x=11$. Sprawdzenie: $2\cdot8=16$ i $11+5=16$. ✔
Trzy możliwe wyniki
- Jedno rozwiązanie — np. $3x=15$, czyli $x=5$
- Równanie sprzeczne — np. $2x+3=2x+5$ prowadzi do $3=5$; brak rozwiązań
- Równanie tożsamościowe — np. $2x+4=2(x+2)$; spełnia je każda liczba
Przekształcanie wzorów
Ten sam mechanizm stosujemy do wzorów. Z $P=a\cdot b$ otrzymujemy $b=\frac{P}{a}$ (przy $a\ne0$).
Na co uważać
Przenosząc wyraz na drugą stronę, zmieniamy jego znak. Mnożąc równanie przez nawias, mnóż każdy składnik: $3(2x-5)=6x-15$, a nie $6x-5$.
Przekształcanie wzorów
Na czym to polega
Przekształcanie wzoru to wyznaczenie z niego innej wielkości. Obowiązuje jedna zasada: to, co robimy z jedną stroną równania, musimy zrobić z drugą.
Działania odwrotne
- dodawanie $\leftrightarrow$ odejmowanie
- mnożenie $\leftrightarrow$ dzielenie
- podnoszenie do kwadratu $\leftrightarrow$ pierwiastkowanie
Przykład 1 — pole prostokąta
Ze wzoru $P=a\cdot b$ wyznaczamy $b$, dzieląc obie strony przez $a$:
$$b=\frac{P}{a}$$
Przykład 2 — pole trójkąta
Ze wzoru $P=\frac{a\cdot h}{2}$ wyznaczamy $h$ w dwóch krokach:
$$2P=a\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{2P}{a}$$
Przykład 3 — wzór z dodawaniem
Ze wzoru $y=2x+3$ wyznaczamy $x$. Najpierw odejmujemy $3$, potem dzielimy przez $2$:
$$y-3=2x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{y-3}{2}$$
Najważniejsze wzory do ćwiczeń
- $s=v\cdot t \ \Rightarrow\ t=\frac{s}{v}$, $v=\frac{s}{t}$
- $O=2\pi r \ \Rightarrow\ r=\frac{O}{2\pi}$
- $V=P_p\cdot H \ \Rightarrow\ H=\frac{V}{P_p}$
- $P=a^2 \ \Rightarrow\ a=\sqrt{P}$ (dla $a>0$)
Na co uważać
Kolejność działań ma znaczenie: $\frac{y-3}{2}$ to nie to samo co $\frac{y}{2}-3$. Gdy nie masz pewności, czy wzór przekształciłeś dobrze, podstaw konkretne liczby i sprawdź, czy obie wersje dają ten sam wynik. Warto też kontrolować jednostki — kilometry dzielone przez km/h muszą dać godziny.
2 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.