Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Pochodna funkcji
Definicja
$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
Pochodna mierzy chwilowe tempo zmian funkcji. Geometrycznie jest to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x_0$.
Równanie stycznej: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.
Pochodne funkcji elementarnych
$$(c)'=0,\qquad (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac1x$$
Reguły różniczkowania
$$(f\pm g)'=f'\pm g'$$
$$(fg)'=f'g+fg'$$
$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$$
$$\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
Badanie funkcji
- $f'(x)>0$ — funkcja rosnąca
- $f'(x)<0$ — funkcja malejąca
- $f'(x_0)=0$ i zmiana znaku z $+$ na $-$ — maksimum lokalne
- $f'(x_0)=0$ i zmiana znaku z $-$ na $+$ — minimum lokalne
Interpretacja fizyczna
Pochodna drogi po czasie to prędkość, pochodna prędkości — przyspieszenie.
Na co uważać
Sam warunek $f'(x_0)=0$ nie wystarcza — dla $f(x)=x^3$ mamy $f'(0)=0$, ale ekstremum nie ma (brak zmiany znaku). Pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych. Przy funkcji złożonej łatwo pominąć „pochodną wnętrza”. Szukając wartości najmniejszej i największej na przedziale domkniętym, sprawdź także końce przedziału.
Pochodna funkcji złożonej i działania na pochodnych
Działania na pochodnych
$$(f+g)'=f'+g',\qquad (cf)'=cf'$$
$$(fg)'=f'g+fg' \quad\text{(iloczyn)}$$
Pochodna sumy to suma pochodnych, ale pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych — trzeba użyć pełnego wzoru.
Reguła łańcuchowa
$$\bigl[f(g(x))\bigr]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
Pochodna funkcji zewnętrznej (w punkcie funkcji wewnętrznej) razy pochodna funkcji wewnętrznej. Najczęstszy błąd to pominięcie tego drugiego czynnika.
Typowe przykłady
$$\bigl[(2x+1)^3\bigr]'=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2$$
$$\bigl[\sin(3x)\bigr]'=\cos(3x)\cdot3=3\cos(3x)$$
$$\bigl[(x^2+1)^5\bigr]'=5(x^2+1)^4\cdot2x=10x(x^2+1)^4$$
Potęga funkcji
$\left(\sin^2 x\right)'=2\sin x\cos x$ — to funkcja złożona ($u^2$ z $u=\sin x$), nie mylić z pochodną iloczynu.
Wybór metody
Dla prostych iloczynów (np. $(x+1)(x-3)$) często szybciej wymnożyć i różniczkować wyraz po wyrazie niż stosować wzór na iloczyn.
Na co uważać
W regule łańcuchowej nie zapomnij o pochodnej „wnętrza". Rozróżniaj $\cos(x^2)$ (funkcja złożona) od $\cos^2 x$ (kwadrat funkcji).
2 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.