Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Wielokąty wpisane i opisane na okręgu
- Obliczanie promieni okręgów w zadaniach
- Geometria przestrzenna (bry ły wpisane)
- Inżynieria (koła zębate, oprawy)
Okrąg — kąty, styczne i okręgi w wielokątach
Kąt środkowy i wpisany
$$\alpha_{\text{środkowy}}=2\beta_{\text{wpisany}}$$
gdy oba są oparte na tym samym łuku. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są sobie równe.
Wniosek: kąt wpisany oparty na średnicy ma $90^\circ$ (twierdzenie Talesa o okręgu).
Styczna
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. Odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu zewnętrznego są równe.
Okrąg opisany i wpisany w trójkąt
Środek okręgu opisanego to punkt przecięcia symetralnych boków; środek okręgu wpisanego — punkt przecięcia dwusiecznych kątów.
W trójkącie prostokątnym $R=\frac{c}{2}$, bo przeciwprostokątna jest średnicą.
Czworokąty
$$\text{okrąg opisany} \iff \alpha+\gamma=\beta+\delta=180^\circ$$
$$\text{okrąg wpisany} \iff a+c=b+d \quad\text{(twierdzenie Pitota)}$$
Twierdzenia sinusów i cosinusów
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$
Na co uważać
Warunki na okrąg opisany i wpisany w czworokąt są niezależne. Prostokąt zawsze ma okrąg opisany, ale wpisany tylko wtedy, gdy jest kwadratem.
Statystyka opisowa
Miary położenia
Średnia arytmetyczna:
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$
Mediana — wartość środkowa w uporządkowanym zestawie. Przy parzystej liczbie danych to średnia dwóch wyrazów środkowych.
Dominanta (moda) — wartość występująca najczęściej.
Średnia ważona
$$\bar{x}_w=\frac{\sum w_ix_i}{\sum w_i}$$
Stosujemy, gdy dane mają różną istotność (np. oceny o różnych wagach).
Miary rozrzutu
Wariancja i odchylenie standardowe:
$$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,\qquad \sigma=\sqrt{\sigma^2}$$
Odchylenie standardowe mówi, jak bardzo dane są rozproszone wokół średniej. Ma tę samą jednostkę co dane; wariancja — jednostkę kwadratową.
Rozstęp to różnica między największą a najmniejszą wartością.
Przykład
Dane $2,4,4,6$: $\bar{x}=4$; odchylenia $-2,0,0,2$; $\sigma=\sqrt{\frac{4+0+0+4}{4}}=\sqrt{2}\approx1{,}41$.
Na co uważać
Przed wyznaczeniem mediany dane trzeba uporządkować. Suma samych odchyleń od średniej zawsze wynosi zero — dlatego podnosimy je do kwadratu. Mediana bywa lepszą miarą niż średnia, gdy w danych są wartości skrajne.
Statystyka opisowa — średnia, mediana, moda
- Średnia arytmetyczna $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \dfrac{\sum x_i}{n}$
- Mediana — wartość środkowa po posortowaniu danych. Dla parzystej liczby danych: średnia dwóch środkowych.
- Moda (dominanta) — wartość lub wartości występujące najczęściej w zbiorze.
- Średnia — gdy dane są równomiernie rozłożone, brak skrajnych wartości
- Mediana — gdy są wartości odstające (np. zarobki: kilka osób bardzo bogatych zawyża średnią)
- Moda — gdy szukasz "najpopularniejszego" (np. najczęstszy rozmiar buta w sklepie)
- Średnia: $\frac{2+4+4+6+8+10+100}{7} = \frac{134}{7} \approx 19{,}1$ (zawyżona przez 100!)
- Mediana: po sortowaniu środkowy to $6$ (lepiej oddaje "typową" wartość)
- Moda: $4$ (pojawia się 2 razy)
Średnia, mediana, moda — porównanie miar tendencji
Średnia arytmetyczna: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ — wrażliwa na wartości odstające.
Mediana $Me$: środkowa wartość w uporządkowanym ciągu — odporna na odstające.
Moda $Mo$: wartość najczęstsza — może nie być jedyna lub może nie istnieć.
Dla symetrycznych rozkładów: $\bar{x} = Me = Mo$.
Rozkład lewostronnie skośny: $Mo > Me > \bar{x}$; prawostronnie: $Mo < Me < \bar{x}$.
Dane: 2, 3, 3, 5, 7, 100: $\bar{x}=20$, $Me=4$, $Mo=3$. Outlier 100 "zawyża" średnią — mediana lepiej opisuje typową wartość.
Zarobki → użyj mediany (Bill Gates wchodzi do baru i średnia zarobków gwałtownie rośnie).
Rozstęp i kwartyle — miary rozproszenia
Rozstęp: $R = x_{max} - x_{min}$ — najprostsza miara rozproszenia.
Kwartyle: $Q_1$ (25%), $Q_2 = Me$ (mediana, 50%), $Q_3$ (75%).
Rozstęp ćwiartkowy: $IQR = Q_3 - Q_1$ — odporna miara rozproszenia.
Wyznaczanie kwartyli: uporządkuj dane, podziel na cztery równe ćwiartki.
Wartości odstające (outliers): $x < Q_1 - 1{,}5\cdot IQR$ lub $x > Q_3 + 1{,}5\cdot IQR$.
Dane: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12. $Q_1=4$, $Q_2=7$, $Q_3=10$. $IQR=6$. $R=10$.
$IQR$ jest odporny na wartości odstające; rozstęp — bardzo wrażliwy.
Średnia arytmetyczna — obliczanie krok po kroku
- Średnia ocen w szkole
- Średnia temperatura miesiąca
- Średnia prędkość w podróży
Mediana — środkowy wynik w zbiorze danych
- Mediana zarobków (odporna na skrajne wartości)
- Mediana cen nieruchomości
- Lepiej niż średnia gdy są duże skoki w danych
Moda — najczęstszy wynik w danych
- Najpopularniejszy rozmiar butów w sklepie
- Najczęstsza odpowiedź w ankiecie
- Typowy czas przejazdu autobusem
Okrąg wpisany i opisany — trójkąt i czworokąt
Gdzie leżą środki
Okrąg opisany — środek w przecięciu symetralnych boków, bo każdy punkt symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka, a więc od wierzchołków.
Okrąg wpisany — środek w przecięciu dwusiecznych kątów, bo punkt dwusiecznej jest równo oddalony od ramion kąta, a więc od boków.
Wzory na promienie w trójkącie
$$r=\frac{P}{p},\qquad R=\frac{abc}{4P}$$
gdzie $p=\frac{a+b+c}{2}$ to połowa obwodu.
Pierwszy wzór wynika z podziału trójkąta na trzy mniejsze o wspólnym wierzchołku w środku okręgu — każdy ma wysokość $r$, więc łączne pole to $\frac{r\cdot O}{2}=rp$.
Trójkąt prostokątny
$$R=\frac{c}{2},\qquad r=\frac{a+b-c}{2}$$
Przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego — to twierdzenie Talesa czytane wstecz: kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$.
Dla trójkąta $5$, $12$, $13$: $R=6{,}5$ oraz $r=\frac{5+12-13}{2}=2$. Kontrola wzorem ogólnym: $P=30$, $p=15$, $r=\frac{30}{15}=2$ ✔
Trójkąt równoboczny
$$R=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac{a\sqrt3}{6},\qquad R=2r$$
Oba środki to ten sam punkt — przecięcie wysokości, które dzieli każdą z nich w stosunku $2:1$ od wierzchołka. Stąd $R=\frac23h$ i $r=\frac13h$.
Konsekwencja dla pól: koło opisane ma pole czterokrotnie większe, bo pola zależą od kwadratu promienia.
Czworokąt wpisany w okrąg
$$\alpha+\gamma=180^\circ,\qquad \beta+\delta=180^\circ$$
Przeciwległe kąty muszą się dopełniać. Sama poprawna suma wszystkich kątów ($360^\circ$) nie wystarcza — kąty $36^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$, $144^\circ$ sumują się do $360^\circ$, ale $36+108=144\neq180$, więc takiego czworokąta nie da się wpisać w okrąg.
Okrąg zawsze da się opisać na prostokącie i kwadracie; na rombie tylko wtedy, gdy jest kwadratem.
Czworokąt opisany na okręgu
$$a+c=b+d$$
Sumujemy boki przeciwległe. Trapez o podstawach $4$ i $10$ oraz ramionach po $7$ spełnia warunek, bo $4+10=7+7$.
W romb okrąg da się wpisać zawsze — wszystkie boki są równe, więc warunek zachodzi automatycznie.
Dwa różne twierdzenia
To najczęstsze źródło pomyłek: warunek wpisania okręgu dotyczy boków, a warunek opisania — kątów.
Kwadrat
$$R=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad r=\frac{a}{2},\qquad \frac{R}{r}=\sqrt2$$
Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki (średnica = przekątna), wpisany dotyka boków (średnica = bok).
Na co uważać
Nie zamieniaj symetralnych z dwusiecznymi. Przy warunku $a+c=b+d$ pilnuj, które boki są przeciwległe. I sprawdzaj sensowność wyniku: $R$ musi być większe od połowy najdłuższego boku.
Bryły wpisane i opisane (klasa 4 LO)
Kula a sześcian
Kula wpisana w sześcian o krawędzi $a$ ma promień $\frac{a}{2}$; kula opisana ma promień $\frac{a\sqrt3}{2}$.
Walec w sześcianie
Promień podstawy walca wpisanego to $\frac{a}{2}$.
Wspólny środek
Środek kuli wpisanej i opisanej pokrywa się ze środkiem bryły.
Zastosowanie
Zadania o stosunku objętości i pól.
11 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.