Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Okrąg w układzie współrzędnych
Równanie okręgu
Okrąg o środku $S=(a,\,b)$ i promieniu $r$ opisuje równanie:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Dla środka w początku układu upraszcza się ono do $x^2+y^2=r^2$.
Odczytywanie środka i promienia
Uwaga na znaki: w równaniu $(x-2)^2+(y+3)^2=25$ mamy $(y+3)=(y-(-3))$, więc:
$$S=(2,\,-3),\qquad r=\sqrt{25}=5$$
Po prawej stronie stoi kwadrat promienia — to najczęstsze źródło pomyłek.
Położenie punktu względem okręgu
Podstawiamy współrzędne punktu do lewej strony równania i porównujemy z $r^2$:
- wynik $=r^2$ — punkt leży na okręgu
- wynik $
- wynik $>r^2$ — punkt leży na zewnątrz
Równoważnie: porównujemy odległość punktu od środka z promieniem.
Odległość między punktami
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
To twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.
Odległość punktu od prostej
Dla prostej w postaci ogólnej $Ax+By+C=0$ i punktu $P=(x_0,\,y_0)$:
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
Przykład: odległość punktu $(3,\,4)$ od prostej $3x+4y-10=0$ wynosi $\frac{|9+16-10|}{\sqrt{9+16}}=\frac{15}{5}=3$.
Wzajemne położenie prostej i okręgu
Porównujemy odległość $d$ środka okręgu od prostej z promieniem $r$:
- $d>r$ — prosta rozłączna z okręgiem
- $d=r$ — prosta styczna
- $d
Na co uważać
Wzoru na odległość punktu od prostej wolno użyć dopiero wtedy, gdy prosta jest zapisana w postaci ogólnej (z zerem po prawej stronie). Równanie $y=2x+1$ trzeba najpierw przekształcić do $2x-y+1=0$.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.