Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Liczby całkowite
Czym są liczby całkowite
To liczby naturalne, ich liczby przeciwne oraz zero:
$$\ldots,-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots$$
Na osi liczbowej im dalej w prawo, tym liczba większa. Każda liczba ujemna jest mniejsza od zera.
Dodawanie i odejmowanie
Dodawanie liczby dodatniej przesuwa nas w prawo, ujemnej — w lewo:
$$-8+12=4,\qquad -5-3=-8$$
Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby przeciwnej:
$$7-(-3)=7+3=10$$
Mnożenie i dzielenie — reguła znaków
$$(+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+,\qquad (+)\cdot(-)=-$$
Przykłady: $-4\cdot(-6)=24$; $-20:4=-5$.
Potęgowanie liczb ujemnych
Potęga o wykładniku parzystym daje wynik dodatni, o nieparzystym — ujemny:
$$(-2)^2=4,\qquad (-2)^3=-8$$
Wartość bezwzględna
$|a|$ to odległość liczby od zera, zawsze nieujemna: $|-7|=7$, $|7|=7$.
Na co uważać
Rozróżniaj $-2^2$ i $(-2)^2$. W pierwszym przypadku potęgujemy tylko dwójkę, a minus zostaje: $-2^2=-4$. W drugim potęgujemy całą liczbę ujemną: $(-2)^2=4$.
Liczby całkowite na osi liczbowej
Czym są liczby całkowite
To liczby naturalne, ich liczby przeciwne i zero:
$$\dots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots$$
Na osi liczbowej rozmieszczone są w równych odstępach — ujemne po lewej od zera, dodatnie po prawej.
Porównywanie
Zasada jest prosta: większa jest ta liczba, która leży bardziej na prawo.
$$-7<-3<0<2<5$$
Wśród liczb ujemnych działa to odwrotnie niż intuicja podpowiada: $-7$ jest mniejsze od $-3$, choć „siódemka jest większa od trójki”. Decyduje położenie na osi, a nie sama cyfra.
Wartość bezwzględna
To odległość liczby od zera — zawsze nieujemna:
$$|{-6}|=6,\qquad |6|=6,\qquad |0|=0$$
Dwie liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną, bo leżą w tej samej odległości od zera, tylko po przeciwnych stronach.
Liczba przeciwna
Liczbą przeciwną do $a$ jest $-a$. Ich suma zawsze wynosi zero:
$$a+(-a)=0$$
Nie myl z liczbą odwrotną — odwrotnością $5$ jest $\frac15$, a liczbą przeciwną $-5$.
Dodawanie i odejmowanie na osi
Dodawanie liczby dodatniej to ruch w prawo, odejmowanie — w lewo:
$$-3+5=2,\qquad -3-5=-8$$
Gdy znaki są różne, odejmujemy wartości bezwzględne, a wynik dostaje znak liczby o większym module: $-7+12=5$, bo $12>7$ i dwunastka jest dodatnia.
Odejmowanie liczby ujemnej
$$a-(-b)=a+b$$
Dwa minusy dają plus. Przykład: $3-(-5)=8$ — to właśnie odległość między $3$ a $-5$ na osi liczbowej.
Mnożenie i dzielenie — reguła znaków
$$(+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+,\qquad (+)\cdot(-)=-$$
Jednakowe znaki dają plus, różne — minus. Ta sama reguła obowiązuje przy dzieleniu.
Ile liczb leży między dwiema danymi
Liczb całkowitych ściśle między $a$ i $b$ jest $b-a-1$. Między $-4$ a $3$ mamy $3-(-4)-1=6$ liczb: $-3,-2,-1,0,1,2$. Zera nie wolno pominąć.
Zastosowania
Temperatury poniżej zera, poziomy w budynku, stan konta, wysokość względem poziomu morza. Dług $150$ zł zapisujemy jako $-150$ — i wtedy „większy dług” to mniejsza liczba.
Na co uważać
Trzy typowe błędy: uznanie $-5>-2$, pomylenie liczby przeciwnej z odwrotną oraz pominięcie zera przy zliczaniu liczb w przedziale.
Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych (klasa 5 SP)
Reguła znaków
Iloczyn i iloraz liczb o tych samych znakach są dodatnie, a o różnych znakach — ujemne.
Przykłady mnożenia
$$(-3)\cdot(-4)=12,\qquad (-3)\cdot4=-12$$
Przykłady dzielenia
$$(-12):(-3)=4,\qquad 12:(-3)=-4$$
Zero
Iloczyn z zerem jest zerem, a przez zero nie dzielimy.
Działania na liczbach całkowitych (klasa 6 SP)
Liczby całkowite
To liczby $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$ — dodatnie, ujemne oraz zero.
Dodawanie i odejmowanie
Dodanie liczby ujemnej to odejmowanie: $5+(-3)=2$. Odjęcie liczby ujemnej to dodawanie: $5-(-3)=8$.
Mnożenie i dzielenie
Wynik o zgodnych znakach jest dodatni, o różnych — ujemny: $(-2)\cdot(-3)=6$, a $(-2)\cdot3=-6$.
Wartość bezwzględna
$|-4|=4$ — to odległość liczby od zera na osi liczbowej.
Liczby całkowite i wymierne (klasa 1 LO)
Zbiory liczbowe
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$. Liczby wymierne to ułamki $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych, gdzie $q\neq0$.
Rozwinięcie dziesiętne
Liczby wymierne mają rozwinięcie skończone albo nieskończone okresowe.
Działania
W zbiorze $\mathbb{Q}$ wykonalne są cztery działania (poza dzieleniem przez $0$).
Na osi liczbowej
Każdej liczbie wymiernej odpowiada punkt osi, lecz nie każdemu punktowi — liczba wymierna.
5 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.