Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Koło i okrąg
Okrąg a koło
Okrąg to linia — zbiór punktów odległych od środka o promień $r$. Koło to okrąg wraz z całym wnętrzem.
Podstawowe wzory
$$l=2\pi r=\pi d,\qquad P=\pi r^2$$
gdzie $d=2r$ to średnica, a $\pi\approx3{,}14$ jest stosunkiem obwodu do średnicy — identycznym dla każdego okręgu.
Łuk i wycinek
Dla kąta środkowego $\alpha$ bierzemy odpowiednią część pełnego okręgu:
$$l_{\text{łuku}}=2\pi r\cdot\frac{\alpha}{360^\circ},\qquad P_{\text{wycinka}}=\pi r^2\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}$$
Symetrie
Koło ma nieskończenie wiele osi symetrii (każda prosta przez środek) oraz środek symetrii. Symetralna odcinka to prosta prostopadła przechodząca przez jego środek — jej punkty są równo oddalone od końców odcinka. Dwusieczna kąta dzieli kąt na połowy, a jej punkty są równo oddalone od ramion.
Najczęstszy błąd
W polu do kwadratu podnosimy promień, nie średnicę. Mając $d=10$, najpierw policz $r=5$, dopiero potem $P=\pi r^2$ — inaczej wynik będzie czterokrotnie za duży. Nie myl też łuku (długość, cm) z wycinkiem (pole, cm²).
Koło i okrąg — definicje
- Okrąg — zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych o dokładnie $r$ od środka $O$. To sam obwód (linia).
- Koło — okrąg wraz z wnętrzem (powierzchnia)
- Promień $r$ — odcinek od środka do okręgu
- Średnica $d = 2r$ — cięciwa przez środek
- Cięciwa — odcinek łączący dwa punkty okręgu
- Długość okręgu: $L = 2\pi r = \pi d$
- Pole koła: $P = \pi r^2$
- Łuk: $l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$
- Wycinek: $P_w = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$
- $L = 2\pi \cdot 7 = 14\pi \approx 43{,}98$ cm
- $P = \pi \cdot 49 = 49\pi \approx 153{,}94$ cm²
Koło i okrąg — długość, pole i figury złożone
Koło a okrąg
Okrąg to sama linia — zbiór punktów oddalonych od środka dokładnie o promień. Koło to okrąg razem z wnętrzem.
Stąd okrąg ma długość, a koło ma pole.
Wzory
$$L=2\pi r=\pi d,\qquad P=\pi r^2$$
gdzie $r$ to promień, a $d=2r$ — średnica. Do obliczeń przybliżonych przyjmujemy $\pi\approx3{,}14$.
Zadania odwrotne
$$r=\frac{L}{2\pi},\qquad r=\sqrt{\frac{P}{\pi}}$$
Przykład: z $L=18\pi$ dostajemy $r=9$; z $P=49\pi$ dostajemy $r=7$.
Najczęstsza pułapka
Wstawienie średnicy zamiast promienia do wzoru na pole. Dla $d=8$ poprawnie jest $P=\pi\cdot4^2=16\pi$, a nie $64\pi$ — błąd czterokrotny.
Jak zmiana promienia wpływa na wynik
Długość okręgu zależy od promienia liniowo, a pole — od jego kwadratu. Podwojenie promienia podwaja obwód, ale zwiększa pole czterokrotnie.
Części koła
$$P_{\text{półkola}}=\frac{\pi r^2}{2},\qquad P_{\text{ćwiartki}}=\frac{\pi r^2}{4}$$
Uwaga przy obwodzie: obwód półkola to łuk plus średnica, czyli $\pi r+2r$ — sam łuk nie zamyka figury.
Pierścień kołowy
$$P=\pi R^2-\pi r^2=\pi\left(R^2-r^2\right)$$
Nie wolno liczyć $\pi(R-r)^2$ — najpierw podnosimy do kwadratu, potem odejmujemy.
Koło wpisane w kwadrat
Średnica koła równa się bokowi kwadratu. Odpad (część kwadratu poza kołem) stanowi zawsze około $21{,}5\%$ powierzchni — niezależnie od rozmiaru.
Zastosowania praktyczne
Jeden obrót koła to droga równa jego obwodowi. Koło o średnicy $70$ cm po $100$ obrotach przejedzie $100\cdot\pi\cdot70\approx21\,980$ cm, czyli około $220$ m.
Na co uważać
W figurach złożonych z prostokąta i półkoli sprawdź, które odcinki naprawdę leżą na brzegu. Boki schowane wewnątrz figury nie liczą się do obwodu.
Koło i okrąg (klasa 4 SP)
Okrąg
Okrąg to linia zamknięta — zbiór punktów jednakowo odległych od środka. Ta odległość to promień $r$.
Koło
Koło to okrąg wraz z jego wnętrzem. Brzegiem koła jest okrąg.
Promień i średnica
Promień $r$ łączy środek z okręgiem, a średnica $d$ przechodzi przez środek. Zachodzi $d=2r$.
Cięciwa
Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty okręgu; najdłuższą cięciwą jest średnica.
4 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.