Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Granice i ciągłość funkcji
Intuicja granicy
Zapis $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g$ oznacza, że gdy argument zbliża się do $x_0$, wartości funkcji zbliżają się do $g$. Sama wartość $f(x_0)$ może przy tym nie istnieć.
Obliczanie granic
Dla funkcji ciągłych wystarczy podstawić:
$$\lim_{x\to2}(3x+1)=7$$
Gdy podstawienie daje symbol nieoznaczony $\frac00$, przekształcamy wyrażenie — najczęściej przez rozkład na czynniki i skrócenie:
$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$$
Granice w nieskończoności
Dla ilorazu wielomianów decyduje porównanie stopni:
- stopień licznika $<$ mianownika → granica $0$
- stopnie równe → iloraz współczynników wiodących
- stopień licznika $>$ mianownika → granica niewłaściwa ($\pm\infty$)
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{x^2-3}=2,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{3x+2}{x^2+1}=0$$
Ciągłość
Funkcja jest ciągła w punkcie $x_0$, gdy spełnione są trzy warunki naraz: istnieje $f(x_0)$, istnieje granica w $x_0$, i te dwie wartości są równe.
Asymptoty
Pionowa $x=a$ — gdy granica jednostronna w $a$ jest niewłaściwa (typowo tam, gdzie zeruje się mianownik). Pozioma $y=g$ — gdy $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=g$.
Na co uważać
Symbol $\frac00$ nie oznacza, że granica nie istnieje — to sygnał, że wyrażenie wymaga przekształcenia. Granice jednostronne mogą się różnić; wtedy granica w punkcie nie istnieje, mimo że obie jednostronne są dobrze określone.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.