Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Geometria analityczna — prosta i okrąg
- Ogólne: $ax + by + c = 0$
- Kierunkowe: $y = mx + b$, gdzie $m = \tan\alpha$ — współczynnik kierunkowy
- Odcinkowe: $\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1$, gdzie $p, q$ — odcinki na osiach
- Odległość punktów $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$: $|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
- Środek odcinka: $M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
- Proste równoległe: $m_1 = m_2$; prostopadłe: $m_1 \cdot m_2 = -1$
- Odległość punktu $(x_0,y_0)$ od prostej $ax+by+c=0$: $d = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
- $(3-1)^2 + (4-2)^2 = 4 + 4 = 8$ ✓
- Tak, punkt $P$ leży na okręgu.
Geometria analityczna w przestrzeni — proste i płaszczyzny
- Grafika 3D i CAD
- Fizyka (fale płaskie)
- Robotyka (orientacja ramienia)
Geometria analityczna
Punkty i odcinki
$$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
$$S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$
Wzór na odległość to twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.
Prosta
Postać kierunkowa $y=ax+b$ oraz ogólna $Ax+By+C=0$. Odległość punktu od prostej:
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
Wzór wymaga postaci ogólnej — prostą $y=2x+1$ trzeba najpierw przekształcić do $2x-y+1=0$.
Okrąg i koło
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Środek $S=(a,b)$, promień $r$. Znaki w nawiasach są przeciwne do współrzędnych środka. Koło to nierówność $\le r^2$. Z postaci rozwiniętej środek i promień wyznaczamy przez uzupełnianie do kwadratu.
Wektory
$$\vec{AB}=[x_2-x_1,\ y_2-y_1],\qquad |\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
$$\vec u\circ\vec v=u_1v_1+u_2v_2=|\vec u||\vec v|\cos\alpha$$
Iloczyn skalarny daje liczbę. Kluczowy wniosek: $\vec u\perp\vec v \iff \vec u\circ\vec v=0$.
Na co uważać
Wektor $\vec{AB}$ to „koniec minus początek”. Jeśli po uzupełnieniu do kwadratu prawa strona równania okręgu wyjdzie ujemna, równanie nie opisuje żadnego okręgu.
Pole trójkąta w układzie współrzędnych (klasa 3 LO)
Wzór
$P=\frac{1}{2}\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|$.
Wartość bezwzględna
Pole jest nieujemne, dlatego stosujemy moduł.
Współliniowość
Gdy pole wychodzi $0$, punkty są współliniowe.
Przykład
$(0,0),(4,0),(0,3)$ dają $P=6$.
Okrąg wpisany w trójkąt w układzie współrzędnych (klasa 3 LO)
Środek
To punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta.
Promień
$r=\frac{P}{p}$, gdzie $P$ to pole, a $p$ połowa obwodu.
W układzie
Pole i boki liczymy ze współrzędnych wierzchołków.
Przykład
Trójkąt $3,4,5$: $P=6$, $p=6$, więc $r=1$.
Geometria analityczna — zagadnienia uzupełniające (klasa 3 LO)
Prosta
Postać kierunkowa $y=ax+b$ i ogólna $Ax+By+C=0$.
Odległości
Punkt od prostej: $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$; między punktami z twierdzenia Pitagorasa.
Okrąg
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Pole trójkąta
Wzór wyznacznikowy ze współrzędnych wierzchołków.
Środek odcinka (klasa 3 LO)
Wzór
Środek odcinka o końcach $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ to $S\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$.
Interpretacja
Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców.
Przykład
Dla $A(1,2)$, $B(5,4)$ środek to $(3,3)$.
Zastosowanie
Znajdowanie środka ciężkości, punktu symetrii.
Geometria analityczna — powtórzenie (klasa 4 LO)
Prosta
$y=ax+b$; równoległe $a_1=a_2$, prostopadłe $a_1 a_2=-1$.
Odległości
Punkt od prostej $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.
Okrąg
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Wektory
Iloczyn skalarny $a_1b_1+a_2b_2$; wektory prostopadłe mają iloczyn $0$.
8 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.