Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
Miara łukowa
$$180^\circ=\pi\ \text{rad},\qquad \alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\text{st}}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}$$
Najczęstsze: $30^\circ=\frac{\pi}{6}$, $45^\circ=\frac{\pi}{4}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $90^\circ=\frac{\pi}{2}$.
$$l=r\alpha,\qquad P_{\text{wycinka}}=\frac{1}{2}r^2\alpha \qquad(\alpha \text{ w radianach})$$
Znaki w ćwiartkach
W I ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w II — tylko sinus, w III — tangens i cotangens, w IV — cosinus.
Wzory redukcyjne
$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$$
$$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$
Przy kątach $90^\circ$ i $270^\circ$ funkcja zmienia się na kofunkcję (sin↔cos), przy $180^\circ$ i $360^\circ$ — pozostaje ta sama.
Okresowość
Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens i cotangens — okres $\pi$.
Wzory na sumę kątów
$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$
$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$
Równania trygonometryczne
$$\sin x=a \Rightarrow x=\alpha+2k\pi \ \lor\ x=\pi-\alpha+2k\pi$$
$$\cos x=a \Rightarrow x=\pm\alpha+2k\pi,\qquad \operatorname{tg} x=a \Rightarrow x=\alpha+k\pi$$
Na co uważać
We wzorach $l=r\alpha$ kąt musi być w radianach. Równanie $\sin x=a$ ma w każdym okresie dwa rozwiązania — pominięcie serii $\pi-\alpha$ to klasyczny błąd. W cosinusie znaki we wzorze na sumę są przeciwne niż w sinusie.
Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta (klasa 3 LO)
Okrąg jednostkowy
Dla kąta $\alpha$ punkt na okręgu ma współrzędne $(\cos\alpha,\sin\alpha)$.
Znaki w ćwiartkach
I: wszystkie dodatnie; II: sin$+$; III: tg$+$; IV: cos$+$.
Wartości szczególne
$\sin90^\circ=1$, $\cos180^\circ=-1$, $\sin270^\circ=-1$.
Okresowość
$\sin$ i $\cos$ mają okres $360^\circ$ ($2\pi$), $\operatorname{tg}$ okres $180^\circ$.
2 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.