Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
Funkcja wykładnicza
$$f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1$$
Dziedzina: $\mathbb{R}$. Zbiór wartości: $(0,+\infty)$ — funkcja nigdy nie przyjmuje wartości $0$ ani ujemnych. Zawsze przechodzi przez punkt $(0,1)$, a oś $OX$ jest asymptotą poziomą.
Dla $a>1$ rośnie, dla $0 $$f(x)=\log_ax$$ Jest funkcją odwrotną do wykładniczej — jej wykres to odbicie wykresu $a^x$ względem prostej $y=x$. Dziedzina: $(0,+\infty)$, zbiór wartości: $\mathbb{R}$, przechodzi przez $(1,0)$, oś $OY$ jest asymptotą pionową. Podstawowa metoda: sprowadzenie obu stron do tej samej podstawy. $$a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$$ Przykład: $2^x=32=2^5$, więc $x=5$. Równania typu $a^{2x}+pa^x+q=0$ sprowadzamy do kwadratowego, podstawiając $t=a^x>0$. Przykład: $4^x-5\cdot2^x+4=0$, podstawiamy $t=2^x$: $t^2-5t+4=0$, skąd $t=1$ lub $t=4$, czyli $x=0$ lub $x=2$. Kierunek zależy od podstawy: dla $a>1$ zostaje bez zmian, dla $0 Po podstawieniu odrzuć rozwiązania $t\le0$ — funkcja wykładnicza takich wartości nie przyjmuje. W równaniach logarytmicznych zawsze zacznij od dziedziny.Funkcja logarytmiczna
Równania wykładnicze
Metoda podstawienia
Nierówności wykładnicze
Na co uważać
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna — zagadnienia uzupełniające (klasa 2 LO)
Równania wykładnicze
Sprowadzamy do wspólnej podstawy: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ daje $f(x)=g(x)$.
Równania logarytmiczne
Korzystamy z definicji i dziedziny: $\log_a x=b$ oznacza $x=a^b$, przy $x>0$.
Własności logarytmów
$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a x^n=n\log_a x$.
Dziedzina
W logarytmie argument i podstawa muszą być dodatnie, podstawa $\neq1$.
2 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.