Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Funkcja liniowa — własności i zastosowania
Wykres: linia prosta o nachyleniu $a$ i przecięciu z $OY$ w punkcie $(0, b)$.
Własności: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $\mathbb{R}$, różnowartościowa, ciągła.
- $a > 0$: rosnąca na całej dziedzinie
- $a < 0$: malejąca na całej dziedzinie
Kąt nachylenia prostej: $\tan\alpha = a$ (dla $a > 0$: kąt ostry; $a < 0$: rozwarty).
- MZ: $-2x+6=0 \Rightarrow x=3$, punkt $(3,0)$
- Przecięcie z $OY$: $(0,6)$
- $f(4) = -2\cdot4+6 = -2$, punkt $(4,-2)$
- Funkcja malejąca ($a=-2 < 0$)
Funkcja liniowa
Postać i wykres
$$f(x)=ax+b$$
Wykresem jest prosta. Współczynnik $a$ to współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ to wyraz wolny — rzędna punktu przecięcia z osią $OY$.
Monotoniczność
- $a>0$ — funkcja rosnąca
- $a<0$ — funkcja malejąca
- $a=0$ — funkcja stała (prosta pozioma)
Miejsce zerowe
$$ax+b=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{b}{a}\qquad(a\ne0)$$
Wyznaczanie równania prostej
Z dwóch punktów $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$:
$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad y-y_1=a(x-x_1)$$
Wzajemne położenie prostych
$$l_1\parallel l_2 \iff a_1=a_2,\qquad l_1\perp l_2 \iff a_1a_2=-1$$
Układy równań liniowych
Interpretacja geometryczna liczby rozwiązań:
- oznaczony — proste przecinają się (jedno rozwiązanie)
- nieoznaczony — proste się pokrywają (nieskończenie wiele)
- sprzeczny — proste równoległe rozłączne (brak rozwiązań)
Na co uważać
Prosta pionowa $x=c$ nie jest funkcją i nie ma współczynnika kierunkowego — nie da się jej zapisać w postaci $y=ax+b$. Warunek prostopadłości zawodzi też dla pary prosta pozioma–pionowa; ten przypadek rozpatruj osobno.
Wykresy funkcji prostoliniowych
Wykres: linia prosta. $a$ — współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ — wyraz wolny (przecięcie z $OY$).
Miejsca zerowe: $x_0 = -\dfrac{b}{a}$ (gdy $a \neq 0$) — przecięcie z $OX$.
- Dwa punkty: wyznacz $(0, b)$ i $(−b/a, 0)$, połącz.
- Punkt + nachylenie: zacznij od $(0,b)$, przesuń o 1 w prawo i $a$ w górę.
- $a = \dfrac{7-3}{3-1} = \dfrac{4}{2} = 2$
- $b = y - ax = 3 - 2\cdot1 = 1$
- $f(x) = 2x + 1$
Równanie prostej i współczynnik kierunkowy
Postać kierunkowa
$$y=ax+b$$
Litera $a$ to współczynnik kierunkowy — mówi, o ile wzrasta $y$, gdy $x$ rośnie o jeden. Litera $b$ to wyraz wolny — wartość $y$ w punkcie przecięcia z osią $OY$.
Monotoniczność
$$a>0 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad a<0 \Rightarrow \text{malejąca},\qquad a=0 \Rightarrow \text{stała}$$
Wyraz wolny nie wpływa na monotoniczność — przesuwa jedynie wykres w pionie.
Prosta przez dwa punkty
$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
Mając $a$, wyznaczamy $b$ przez podstawienie współrzędnych dowolnego z punktów. Drugi punkt służy wtedy do sprawdzenia.
Przykład: dla $A=(1,5)$ i $B=(3,1)$ mamy $a=\frac{1-5}{3-1}=-2$, potem $5=-2+b$, czyli $b=7$ i ostatecznie $y=-2x+7$.
Równoległość i prostopadłość
$$\text{równoległe}:\ a_1=a_2,\qquad \text{prostopadłe}:\ a_1\cdot a_2=-1$$
Warunek prostopadłości wygodnie stosuje się tak: odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Do prostej o $a=2$ prostopadła ma $a=-\frac12$; do prostej o $a=\frac13$ — $a=-3$.
Proste o równych $a$ i równych $b$ pokrywają się; równe $a$ i różne $b$ oznacza proste rozłączne.
Postać ogólna
$$Ax+By+C=0$$
Zamiana na postać kierunkową polega na wyznaczeniu $y$:
$$2x+3y-6=0 \ \Rightarrow\ y=-\tfrac23x+2$$
Postać ogólna obejmuje również proste pionowe ($B=0$), których nie da się zapisać jako $y=ax+b$.
Punkty przecięcia z osiami
Z osią $OY$: podstawiamy $x=0$ i otrzymujemy punkt $(0,\ b)$.
Z osią $OX$: rozwiązujemy $ax+b=0$, czyli szukamy miejsca zerowego $x=-\frac{b}{a}$.
Punkt przecięcia dwóch prostych
Porównujemy prawe strony równań. Dla $y=2x-1$ i $y=-x+5$ dostajemy $3x=6$, czyli $x=2$ i $y=3$. Zawsze warto sprawdzić wynik w drugim równaniu.
Współliniowość trzech punktów
Punkty leżą na jednej prostej dokładnie wtedy, gdy współczynnik kierunkowy liczony dla różnych par jest taki sam. Dla $(1,2)$, $(3,6)$ i $(5,10)$ oba wynoszą $2$, więc punkty są współliniowe, a prosta to $y=2x$.
Zastosowania
Taksówka z opłatą $8$ zł i stawką $3$ zł za kilometr to $f(x)=3x+8$. Współczynnik kierunkowy jest tempem wzrostu kosztu, a wyraz wolny — kosztem stałym. Ten sam schemat opisuje abonamenty, rachunki za prąd czy koszt produkcji.
Na co uważać
Nie myl $a$ z $b$ przy odczycie ze wzoru. Przy prostopadłości pamiętaj o zmianie znaku, nie tylko o odwróceniu ułamka. I sprawdzaj wynik, podstawiając punkt do równania.
Funkcja liniowa — zastosowania (klasa 1 LO)
Model liniowy
$y=ax+b$ opisuje stałe tempo zmian $a$ oraz wartość początkową $b$.
Przykłady
Koszt = opłata stała + cena za sztukę razy ilość; droga = prędkość razy czas.
Miejsce zerowe
$x=-\frac{b}{a}$ — argument, dla którego wielkość osiąga zero.
Interpretacja współczynnika
Dodatnie $a$ oznacza wzrost, ujemne — spadek, a $|a|$ to tempo zmian.
Funkcja liniowa — zagadnienia uzupełniające (klasa 1 LO)
Postacie prostej
Kierunkowa $y=ax+b$ oraz ogólna $Ax+By+C=0$.
Równoległość i prostopadłość
Proste równoległe: $a_1=a_2$. Prostopadłe: $a_1\cdot a_2=-1$.
Wyznaczanie wzoru
Z dwóch punktów: $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, a $b$ z podstawienia.
Monotoniczność
$a>0$ — rosnąca, $a<0$ — malejąca, $a=0$ — stała.
Wykres funkcji liniowej (klasa 1 LO)
Postać
$y=ax+b$; wykresem jest prosta.
Współczynniki
$a$ to współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ wyraz wolny (punkt przecięcia z osią $OY$).
Monotoniczność
$a>0$ rosnąca, $a<0$ malejąca, $a=0$ stała.
Miejsce zerowe
$x_0=-\frac{b}{a}$ dla $a\neq0$.
Wykres funkcji liniowej — własności (klasa 1 LO)
Nachylenie
Znak współczynnika $a$ decyduje o monotoniczności: $a>0$ rosnąca, $a<0$ malejąca.
Przecięcia z osiami
Z osią $OY$ w $(0,b)$, z osią $OX$ w miejscu zerowym $-\frac{b}{a}$.
Proste równoległe
Mają równe współczynniki kierunkowe.
Proste prostopadłe
Spełniają $a_1 a_2=-1$.
8 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.