Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Funkcja kwadratowa i równania kwadratowe
Trzy postacie funkcji kwadratowej
Ogólna: $f(x)=ax^2+bx+c$ — widać $c$, czyli punkt przecięcia z osią $OY$.
Kanoniczna: $f(x)=a(x-p)^2+q$ — widać wierzchołek $W=(p,q)$.
Iloczynowa: $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ — widać miejsca zerowe (istnieje przy $\Delta\ge0$).
Wyróżnik i pierwiastki
$$\Delta=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$
- $\Delta>0$ — dwa różne pierwiastki
- $\Delta=0$ — jeden pierwiastek podwójny $x_0=\frac{-b}{2a}$
- $\Delta<0$ — brak pierwiastków rzeczywistych
Wierzchołek paraboli
$$p=\frac{-b}{2a},\qquad q=\frac{-\Delta}{4a}$$
W praktyce bezpieczniej policzyć $p$, a potem po prostu $q=f(p)$ — mniej okazji do pomyłki ze znakiem.
Wzory Viète’a
$$x_1+x_2=\frac{-b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$$
Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania — np. znaki: oba dodatnie gdy suma i iloczyn są dodatnie, różnych znaków gdy iloczyn jest ujemny. Przydatna tożsamość: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.
Nierówności kwadratowe
Wyznaczamy miejsca zerowe, szkicujemy parabolę (ramiona wg znaku $a$) i odczytujemy przedziały. Dla $a>0$: nierówność $>0$ daje dwa przedziały zewnętrzne, $<0$ — jeden wewnętrzny.
Na co uważać
Równania niezupełne rozwiązuj bez delty: $x^2-9=0\Rightarrow x=\pm3$; $x^2-5x=0\Rightarrow x(x-5)=0$. Nigdy nie dziel przez $x$ — stracisz rozwiązanie $x=0$. W zadaniach z parametrem najpierw sprawdź warunek na $\Delta$.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.