Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Ekstrema funkcji i zadania optymalizacyjne
Pochodna a monotoniczność
Znak pochodnej mówi, jak zachowuje się funkcja:
- $f'(x)>0$ — funkcja rośnie
- $f'(x)<0$ — funkcja maleje
- $f'(x)=0$ — punkt krytyczny (kandydat na ekstremum)
Warunek konieczny nie wystarcza
Zerowanie się pochodnej to za mało. Ekstremum jest tam, gdzie pochodna zmienia znak:
- z $+$ na $-$ — maksimum
- z $-$ na $+$ — minimum
Kontrprzykład: $f(x)=x^3$ ma $f'(0)=0$, ale pochodna $3x^2$ jest dodatnia po obu stronach zera — nie ma tam ekstremum, tylko punkt przegięcia.
Wartość największa na przedziale domkniętym
Porównujemy wartości funkcji w punktach krytycznych oraz na końcach przedziału. Ekstremum globalne może wypaść na brzegu, gdzie pochodna wcale nie musi się zerować.
Przykład: $f(x)=x^2-4x+1$ na $\langle0,\,3\rangle$. Punkt krytyczny $x=2$, a wartości to $f(0)=1$, $f(2)=-3$, $f(3)=-2$. Najmniejsza $-3$, największa $1$.
Schemat zadania optymalizacyjnego
- wprowadź zmienną i nazwij, co optymalizujesz
- zapisz warunek wiążący wielkości (obwód, objętość, długość materiału)
- wyeliminuj jedną zmienną i zapisz funkcję celu
- ustal dziedzinę wynikającą z sensu zadania
- policz pochodną i znajdź punkty krytyczne
- sprawdź, czy to maksimum czy minimum
- wróć do pytania z treści
Kroki czwarty i siódmy są równie ważne jak rachunek — najwięcej punktów przepada na pominiętej dziedzinie i na odpowiedzi „obok pytania”.
Klasyczne wyniki warte zapamiętania
- spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat
- przy ogrodzeniu trzech boków (czwarty to ściana) optymalny prostokąt ma bok równoległy do ściany dwa razy dłuższy
- puszka walcowa o danej objętości i najmniejszym polu ma wysokość równą średnicy
- iloczyn dwóch liczb o danej sumie jest największy, gdy liczby są równe
Przykład — pudełko z blachy
Z kwadratu o boku $12$ wycinamy rogi o boku $x$ i zaginamy. Wtedy $V(x)=x(12-2x)^2$ dla $x\in(0,\,6)$. Pochodna $12(x-2)(x-6)$ zeruje się w $x=2$ (drugi pierwiastek odpada — poza dziedziną). Maksymalna objętość to $128$.
Styczna do wykresu
$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Pochodna w punkcie to współczynnik kierunkowy stycznej — to jej interpretacja geometryczna.
Na co uważać
Dziedzina z sensu zadania potrafi odrzucić pierwiastek, który formalnie wychodzi z rachunku. Sprawdzaj też, czy wynik jest sensowny fizycznie: ujemny bok albo objętość większa od materiału wyjściowego sygnalizują błąd.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.