Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Dzielniki, wielokrotności i liczby pierwsze
Dzielnik i wielokrotność
Liczba $d$ jest dzielnikiem $n$, gdy $n:d$ daje wynik całkowity bez reszty. Wtedy $n$ nazywamy wielokrotnością $d$.
Przykład: $3$ jest dzielnikiem $12$, a $12$ jest wielokrotnością $3$. To dwie strony tej samej relacji.
Jak wypisać wszystkie dzielniki
Szukamy parami, zaczynając od $1$:
$$24=1\cdot24=2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6$$
$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$
Kończymy, gdy czynniki zaczynają się mijać. Ta metoda gwarantuje, że nic nie zostanie pominięte.
Cechy podzielności
- przez 2 — ostatnia cyfra parzysta
- przez 3 — suma cyfr dzieli się przez $3$
- przez 4 — dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $4$
- przez 5 — ostatnia cyfra to $0$ lub $5$
- przez 9 — suma cyfr dzieli się przez $9$
- przez 10 — ostatnia cyfra to $0$
Przykład: $6543$ — suma cyfr to $18$, więc liczba dzieli się przez $9$ (a tym samym przez $3$).
Liczby pierwsze i złożone
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Pierwsze z nich to $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$.
Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona — ma tylko jeden dzielnik. Liczba $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Rozkład na czynniki pierwsze
Dzielimy przez kolejne liczby pierwsze, aż dojdziemy do $1$:
$$60=2\cdot2\cdot3\cdot5=2^2\cdot3\cdot5$$
W rozkładzie wszystkie czynniki muszą być pierwsze — zapis $60=4\cdot15$ to jeszcze nie rozkład na czynniki pierwsze.
NWD i NWW
NWD to największy wspólny dzielnik, NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność.
Dla $12$ i $18$: wspólne dzielniki to $1,2,3,6$, więc NWD$=6$. Wspólne wielokrotności to $36,72,\dots$, więc NWW$=36$.
Praktyczna zależność:
$$\text{NWD}(a,b)\cdot\text{NWW}(a,b)=a\cdot b$$
Sprawdzenie: $6\cdot36=216=12\cdot18$ ✔ Znając jedno, łatwo obliczyć drugie.
Gdzie się to przydaje
NWD skraca ułamki do postaci nieskracalnej. NWW służy do sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika i do zadań o „spotykających się” cyklach — np. dwa autobusy odjeżdżające co $12$ i co $18$ minut spotkają się po $36$ minutach.
Na co uważać
Nie myl dzielnika z wielokrotnością (dzielników jest skończenie wiele, wielokrotności nieskończenie). Nie zaliczaj $1$ do liczb pierwszych. I pamiętaj, że każda liczba jest dzielnikiem samej siebie.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.