Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Ciągi liczbowe
Pojęcie ciągu
Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Wyraz o numerze $n$ oznaczamy $a_n$. Ciąg można zadać wzorem ogólnym (jawnym) albo rekurencyjnym.
Ciąg arytmetyczny
Stała różnica $r$ między kolejnymi wyrazami:
$$a_n=a_1+(n-1)r$$
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
Własność charakterystyczna: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ — każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów.
Ciąg geometryczny
Stały iloraz $q$ kolejnych wyrazów:
$$a_n=a_1q^{n-1}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\qquad(q\ne1)$$
Własność: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$.
Szereg geometryczny
Dla $|q|<1$ suma nieskończenie wielu wyrazów jest skończona:
$$S=\frac{a_1}{1-q}$$
Przykład: $1+\frac12+\frac14+\ldots=\frac{1}{1-\frac12}=2$.
Procent składany
$$K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$
To bezpośrednie zastosowanie ciągu geometrycznego — kapitał rośnie geometrycznie.
Na co uważać
We wzorze ogólnym ciągu arytmetycznego jest $(n-1)r$, a nie $nr$ — do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy. Wzór na sumę ciągu geometrycznego nie działa dla $q=1$ (dzielenie przez zero) — ten przypadek rozpatruj osobno. Przy szeregu najpierw sprawdź warunek $|q|<1$.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.