Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Objętość bryły obrotowej — metoda dysków i walcowa
Metoda dysków (obrót wokół osi $OX$): $$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\, dx$$ Metoda walcowa (powłokowa) (obrót wokół osi $OY$): $$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x)\, dx$$
- Walec: $f(x) = r$, $V = \pi r^2 h$ ✓
- Stożek: $f(x) = \tfrac{r}{h}x$, $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$ ✓
- Kula: $f(x) = \sqrt{R^2-x^2}$, $V = \tfrac{4}{3}\pi R^3$ ✓
Bryły obrotowe
Walec
$$V=\pi r^2H,\qquad P_b=2\pi rH,\qquad P_c=2\pi r(r+H)$$
Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest prostokątem o wymiarach $2\pi r$ (obwód podstawy) na $H$. Przekrój osiowy to prostokąt $2r\times H$.
Stożek
$$V=\frac13\pi r^2H,\qquad P_b=\pi rl,\qquad P_c=\pi r(r+l)$$
gdzie $l$ to tworząca, powiązana z pozostałymi wymiarami przez twierdzenie Pitagorasa:
$$l=\sqrt{r^2+H^2}$$
Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu $l$ i kącie $\alpha=\frac{r}{l}\cdot360^\circ$. Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny.
Kula
$$V=\frac43\pi r^3,\qquad P=4\pi r^2$$
Każdy przekrój kuli płaszczyzną jest kołem. Przekrój przez środek (koło wielkie) ma promień $r$, a w odległości $d$ od środka — promień $\sqrt{r^2-d^2}$.
Skalowanie
Podwojenie promienia zwiększa pole $4$ razy, a objętość $8$ razy — bo pole zależy od $r^2$, a objętość od $r^3$.
Na co uważać
W stożku do objętości wchodzi wysokość $H$, a do pola bocznego tworząca $l$ — mylenie ich to najczęstszy błąd w tym temacie. W zadaniach o przekroju osiowym będącym kwadratem (walec) zachodzi $H=2r$.
2 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.