Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Badanie funkcji pochodną — monotoniczność i ekstrema
Znak pochodnej a monotoniczność
Pochodna mówi, jak nachylona jest styczna do wykresu — a więc czy funkcja rośnie, czy maleje:
- $f^{\prime}(x)>0$ w przedziale $\Rightarrow$ funkcja rośnie w tym przedziale
- $f^{\prime}(x)<0$ w przedziale $\Rightarrow$ funkcja maleje w tym przedziale
- $f^{\prime}(x)=0$ w przedziale $\Rightarrow$ funkcja jest stała
Punkty krytyczne
Punkty, w których $f^{\prime}(x)=0$ lub pochodna nie istnieje, nazywamy krytycznymi. Tylko tam może wystąpić ekstremum lokalne.
Warunek konieczny i wystarczający
Samo zerowanie pochodnej nie wystarcza. Ekstremum jest wtedy, gdy pochodna dodatkowo zmienia znak:
- zmiana z $+$ na $-$ $\Rightarrow$ maksimum lokalne
- zmiana z $-$ na $+$ $\Rightarrow$ minimum lokalne
- brak zmiany znaku $\Rightarrow$ nie ma ekstremum
Klasyczny kontrprzykład: dla $f(x)=x^3$ mamy $f^{\prime}(x)=3x^2$, więc $f^{\prime}(0)=0$, ale pochodna jest dodatnia po obu stronach zera. Funkcja cały czas rośnie — ekstremum nie ma, jest tam punkt przegięcia.
Schemat badania funkcji
- wyznacz dziedzinę
- oblicz pochodną $f^{\prime}(x)$
- rozwiąż równanie $f^{\prime}(x)=0$
- zbadaj znak pochodnej w przedziałach między pierwiastkami
- odczytaj przedziały monotoniczności i ekstrema
- oblicz wartości funkcji w punktach ekstremalnych
Przykład
Zbadajmy $f(x)=x^3-3x$. Pochodna:
$$f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$
Miejsca zerowe pochodnej: $x=-1$ i $x=1$. Znak pochodnej: dodatni dla $x<-1$, ujemny na $(-1,\,1)$, dodatni dla $x>1$.
Zatem w $x=-1$ jest maksimum lokalne $f(-1)=2$, a w $x=1$ minimum lokalne $f(1)=-2$.
Wartość największa i najmniejsza w przedziale domkniętym
Oprócz ekstremów lokalnych sprawdzamy zawsze końce przedziału — wartość największa może być właśnie tam.
Na co uważać
Nie myl miejsca zerowego funkcji ($f(x)=0$) z miejscem zerowym pochodnej ($f^{\prime}(x)=0$) — to zupełnie różne rzeczy. Pamiętaj też, że wnioski o monotoniczności formułujemy dla przedziałów, a nie dla pojedynczych punktów.
1 wynik
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.