Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Wstęp do funkcji kwadratowej
Najprostsza postać
$$f(x)=ax^2,\qquad a\ne0$$
Wykresem jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych. Dla $a>0$ ramiona skierowane są w górę, dla $a<0$ — w dół. Im większe $|a|$, tym parabola węższa.
Przesunięcia wykresu
$$y=ax^2+q\ :\ \text{przesunięcie o } q \text{ wzdłuż } OY$$
$$y=a(x-p)^2\ :\ \text{przesunięcie o } p \text{ wzdłuż } OX$$
Łącznie o wektor $[p,q]$:
$$y=a(x-p)^2+q$$
Postać kanoniczna
Z zapisu $f(x)=a(x-p)^2+q$ odczytujemy wierzchołek $W=(p,q)$ oraz oś symetrii $x=p$. Dla $a>0$ wartość $q$ jest najmniejszą wartością funkcji, dla $a<0$ — największą.
Postać ogólna
$$f(x)=ax^2+bx+c$$
Współczynnik $c$ to rzędna punktu przecięcia z osią $OY$. Przejście z kanonicznej do ogólnej polega na rozwinięciu kwadratu: $(x-1)^2-4=x^2-2x-3$.
Miejsca zerowe
Zależą od położenia wierzchołka i kierunku ramion. Jeśli $a>0$ i $q>0$, parabola leży w całości nad osią $OX$ — miejsc zerowych nie ma (np. $f(x)=x^2+3$).
Na co uważać
Znak w nawiasie jest mylący: $(x-3)^2$ przesuwa wykres w prawo o $3$, a $(x+2)^2$ w lewo o $2$. Przy osi $OY$ działa intuicyjnie: $+q$ to w górę.
Zadania z parametrem — funkcja kwadratowa
Na czym polegają
W równaniu lub nierówności występuje dodatkowa litera (parametr, zwykle $m$). Pytamy, dla jakich jej wartości spełniony jest zadany warunek. Kluczem jest zwykle delta.
Warunki na liczbę pierwiastków
$$\Delta>0 \Rightarrow \text{dwa różne pierwiastki}$$
$$\Delta=0 \Rightarrow \text{jeden pierwiastek podwójny}$$
$$\Delta<0 \Rightarrow \text{brak pierwiastków rzeczywistych}$$
Przykład: $x^2+mx+4=0$ ma dwa pierwiastki, gdy $m^2-16>0$, czyli $m<-4$ lub $m>4$.
Warunek na funkcję kwadratową
Zanim policzysz deltę, sprawdź, czy funkcja w ogóle jest kwadratowa — współczynnik przy $x^2$ musi być różny od zera. Dla $f(x)=(m-1)x^2+3x+1$ potrzeba $m\ne1$.
Znaki pierwiastków (wzory Viète’a)
$$x_1+x_2=\frac{-b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$$
- oba dodatnie: $\Delta\ge0$, suma $>0$, iloczyn $>0$
- oba ujemne: $\Delta\ge0$, suma $<0$, iloczyn $>0$
- różnych znaków: iloczyn $<0$ (delta wtedy automatycznie dodatnia)
Nierówność spełniona dla każdego x
Wyrażenie $ax^2+bx+c>0$ jest prawdziwe dla wszystkich $x$ dokładnie wtedy, gdy $a>0$ i $\Delta<0$ — parabola leży w całości nad osią.
Na co uważać
Warunki trzeba łączyć: najpierw dziedzina parametru (np. $a\ne0$), potem warunek na deltę, na końcu ewentualne warunki Viète’a. Rozwiązaniem jest część wspólna wszystkich, a nie tylko ostatni otrzymany przedział.
Granice i ciągłość funkcji
Intuicja granicy
Zapis $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g$ oznacza, że gdy argument zbliża się do $x_0$, wartości funkcji zbliżają się do $g$. Sama wartość $f(x_0)$ może przy tym nie istnieć.
Obliczanie granic
Dla funkcji ciągłych wystarczy podstawić:
$$\lim_{x\to2}(3x+1)=7$$
Gdy podstawienie daje symbol nieoznaczony $\frac00$, przekształcamy wyrażenie — najczęściej przez rozkład na czynniki i skrócenie:
$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$$
Granice w nieskończoności
Dla ilorazu wielomianów decyduje porównanie stopni:
- stopień licznika $<$ mianownika → granica $0$
- stopnie równe → iloraz współczynników wiodących
- stopień licznika $>$ mianownika → granica niewłaściwa ($\pm\infty$)
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{x^2-3}=2,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{3x+2}{x^2+1}=0$$
Ciągłość
Funkcja jest ciągła w punkcie $x_0$, gdy spełnione są trzy warunki naraz: istnieje $f(x_0)$, istnieje granica w $x_0$, i te dwie wartości są równe.
Asymptoty
Pionowa $x=a$ — gdy granica jednostronna w $a$ jest niewłaściwa (typowo tam, gdzie zeruje się mianownik). Pozioma $y=g$ — gdy $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=g$.
Na co uważać
Symbol $\frac00$ nie oznacza, że granica nie istnieje — to sygnał, że wyrażenie wymaga przekształcenia. Granice jednostronne mogą się różnić; wtedy granica w punkcie nie istnieje, mimo że obie jednostronne są dobrze określone.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną
Definicja
Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi liczbowej — nigdy nie jest ujemna:
$$|a|=\begin{cases} a & \text{dla } a\ge 0 \ -a & \text{dla } a<0 \end{cases}$$
Interpretacja geometryczna
To najważniejsze narzędzie w tym dziale:
$$|a-b| = \text{odległość między liczbami } a \text{ i } b$$
Dlatego $|x-2|$ czytamy jako „odległość liczby $x$ od liczby $2$”, a samo $|x|$ jako „odległość $x$ od zera”.
Równania
Równanie $|W(x)|=a$ dla $a>0$ rozbijamy na dwa przypadki:
$$W(x)=a \quad \text{lub} \quad W(x)=-a$$
Przykład: $|x-3|=2$ daje $x-3=2$ lub $x-3=-2$, czyli $x=5$ lub $x=1$. Geometrycznie: szukamy liczb odległych o $2$ od liczby $3$.
Gdy $a<0$, równanie nie ma rozwiązań — odległość nie może być ujemna. Gdy $a=0$, rozwiązanie jest jedno.
Nierówności typu „mniejsze”
$$|x|0)$$
Rozwiązaniem jest przedział — liczby blisko zera. Przykład: $|x|<4$ daje $x\in(-4,\,4)$.
Nierówności typu „większe”
$$|x|\ge a \iff x\le -a \ \text{ lub } \ x\ge a$$
Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów — liczby daleko od zera. Przykład: $|x|\ge3$ daje $x\in(-\infty,\,-3\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$.
Ogólny wzorzec
$$|x-p| To przedział o środku $p$ i promieniu $r$ — bardzo wygodny sposób zapisu otoczenia punktu. Najczęstszy błąd to podanie tylko jednego rozwiązania równania — pamiętaj o obu przypadkach. Drugi to pomylenie kierunku nierówności: „mniejsze” daje jeden przedział w środku, „większe” daje dwa przedziały po bokach. Zawsze warto naszkicować oś liczbową.Własności
Na co uważać
Badanie funkcji pochodną — monotoniczność i ekstrema
Znak pochodnej a monotoniczność
Pochodna mówi, jak nachylona jest styczna do wykresu — a więc czy funkcja rośnie, czy maleje:
- $f^{\prime}(x)>0$ w przedziale $\Rightarrow$ funkcja rośnie w tym przedziale
- $f^{\prime}(x)<0$ w przedziale $\Rightarrow$ funkcja maleje w tym przedziale
- $f^{\prime}(x)=0$ w przedziale $\Rightarrow$ funkcja jest stała
Punkty krytyczne
Punkty, w których $f^{\prime}(x)=0$ lub pochodna nie istnieje, nazywamy krytycznymi. Tylko tam może wystąpić ekstremum lokalne.
Warunek konieczny i wystarczający
Samo zerowanie pochodnej nie wystarcza. Ekstremum jest wtedy, gdy pochodna dodatkowo zmienia znak:
- zmiana z $+$ na $-$ $\Rightarrow$ maksimum lokalne
- zmiana z $-$ na $+$ $\Rightarrow$ minimum lokalne
- brak zmiany znaku $\Rightarrow$ nie ma ekstremum
Klasyczny kontrprzykład: dla $f(x)=x^3$ mamy $f^{\prime}(x)=3x^2$, więc $f^{\prime}(0)=0$, ale pochodna jest dodatnia po obu stronach zera. Funkcja cały czas rośnie — ekstremum nie ma, jest tam punkt przegięcia.
Schemat badania funkcji
- wyznacz dziedzinę
- oblicz pochodną $f^{\prime}(x)$
- rozwiąż równanie $f^{\prime}(x)=0$
- zbadaj znak pochodnej w przedziałach między pierwiastkami
- odczytaj przedziały monotoniczności i ekstrema
- oblicz wartości funkcji w punktach ekstremalnych
Przykład
Zbadajmy $f(x)=x^3-3x$. Pochodna:
$$f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$
Miejsca zerowe pochodnej: $x=-1$ i $x=1$. Znak pochodnej: dodatni dla $x<-1$, ujemny na $(-1,\,1)$, dodatni dla $x>1$.
Zatem w $x=-1$ jest maksimum lokalne $f(-1)=2$, a w $x=1$ minimum lokalne $f(1)=-2$.
Wartość największa i najmniejsza w przedziale domkniętym
Oprócz ekstremów lokalnych sprawdzamy zawsze końce przedziału — wartość największa może być właśnie tam.
Na co uważać
Nie myl miejsca zerowego funkcji ($f(x)=0$) z miejscem zerowym pochodnej ($f^{\prime}(x)=0$) — to zupełnie różne rzeczy. Pamiętaj też, że wnioski o monotoniczności formułujemy dla przedziałów, a nie dla pojedynczych punktów.
Zagadnienia optymalizacyjne
Czym jest zadanie optymalizacyjne
Szukamy wartości największej lub najmniejszej pewnej wielkości — największego pola, najmniejszego kosztu, najkrótszej drogi — przy podanym warunku.
Schemat postępowania
- Oznacz szukaną wielkość literą i nazwij, co optymalizujesz
- Zapisz warunek z treści zadania (obwód, objętość, suma)
- Wyeliminuj jedną zmienną, korzystając z warunku
- Ustal dziedzinę — wymiary muszą być dodatnie
- Zbadaj funkcję pochodną i znajdź ekstremum
- Sprawdź, czy punkt należy do dziedziny, i odpowiedz na pytanie zadania
Przykład — największe pole prostokąta
Prostokąt ma obwód $40$. Skoro $2a+2b=40$, to $b=20-a$, a pole wynosi:
$$P(a)=a(20-a)=-a^2+20a,\qquad a\in(0,\,20)$$
Pochodna $P^{\prime}(a)=-2a+20$ zeruje się dla $a=10$ i zmienia znak z $+$ na $-$, więc jest to maksimum:
$$P(10)=10\cdot10=100$$
Wniosek ogólny: spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma zawsze kwadrat.
Przykład — największy iloczyn
Suma dwóch liczb dodatnich wynosi $12$. Iloczyn to $f(x)=x(12-x)=12x-x^2$. Pochodna $12-2x$ zeruje się dla $x=6$, więc obie liczby równe $6$ dają największy iloczyn $36$.
Przykład — najoszczędniejsza puszka
Walec o ustalonej objętości $V$ ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej, gdy:
$$h=2r$$
czyli gdy wysokość równa się średnicy podstawy.
Twierdzenie Weierstrassa
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym zawsze osiąga wartość największą i najmniejszą. Dlatego przy przedziale domkniętym oprócz punktów krytycznych sprawdzamy też jego końce.
Na co uważać
Największy błąd to pominięcie dziedziny — wzór matematyczny dopuszcza wartości bez sensu fizycznego, np. ujemny bok. Drugi błąd to zatrzymanie się na wartości zmiennej: zadanie zwykle pyta o pole, koszt lub wymiary, więc na końcu trzeba wrócić do treści i policzyć to, o co naprawdę pytano.
Wektory w układzie współrzędnych
Współrzędne wektora
Wektor o początku $A=(x_A,\,y_A)$ i końcu $B=(x_B,\,y_B)$ ma współrzędne:
$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$$
Od końca odejmujemy początek. Odwrotna kolejność daje wektor przeciwny $\vec{BA}$.
Długość wektora
$$|\vec{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}$$
Przykład: dla $\vec{u}=[4,\,2]$ mamy $|\vec{u}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$.
Działania na wektorach
$$\vec{u}+\vec{v}=[u_x+v_x,\ u_y+v_y],\qquad k\vec{u}=[k\,u_x,\ k\,u_y]$$
Mnożenie przez liczbę $k>0$ zmienia tylko długość, a $k<0$ dodatkowo odwraca zwrot.
Iloczyn skalarny
$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha$$
Wynikiem jest liczba, nie wektor.
Kąt między wektorami
Znak iloczynu skalarnego od razu mówi, jaki jest kąt:
- $\vec{u}\circ\vec{v}=0 \Rightarrow$ wektory prostopadłe
- $\vec{u}\circ\vec{v}>0 \Rightarrow$ kąt ostry
- $\vec{u}\circ\vec{v}<0 \Rightarrow$ kąt rozwarty
Sam kąt wyznaczamy ze wzoru:
$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$$
Wektory równoległe
Wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego, co sprawdzamy warunkiem:
$$u_x v_y-u_y v_x=0$$
Zastosowania
- przesunięcie punktu o wektor: $(x,\,y)+[p,\,q]=(x+p,\,y+q)$
- środek odcinka jako punkt „w połowie wektora”
- sprawdzanie, czy trzy punkty leżą na jednej prostej (wektory równoległe)
- sprawdzanie prostopadłości boków wielokąta (iloczyn skalarny równy zero)
Na co uważać
Nie myl iloczynu skalarnego z mnożeniem współrzędnych „po kolei” — wynikiem jest liczba, którą otrzymujemy przez dodanie iloczynów. Pamiętaj też, że wektor to nie punkt: ten sam wektor może zaczynać się w dowolnym miejscu układu, bo liczy się tylko kierunek, zwrot i długość.
Okrąg w układzie współrzędnych
Równanie okręgu
Okrąg o środku $S=(a,\,b)$ i promieniu $r$ opisuje równanie:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Dla środka w początku układu upraszcza się ono do $x^2+y^2=r^2$.
Odczytywanie środka i promienia
Uwaga na znaki: w równaniu $(x-2)^2+(y+3)^2=25$ mamy $(y+3)=(y-(-3))$, więc:
$$S=(2,\,-3),\qquad r=\sqrt{25}=5$$
Po prawej stronie stoi kwadrat promienia — to najczęstsze źródło pomyłek.
Położenie punktu względem okręgu
Podstawiamy współrzędne punktu do lewej strony równania i porównujemy z $r^2$:
- wynik $=r^2$ — punkt leży na okręgu
- wynik $
- wynik $>r^2$ — punkt leży na zewnątrz
Równoważnie: porównujemy odległość punktu od środka z promieniem.
Odległość między punktami
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
To twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.
Odległość punktu od prostej
Dla prostej w postaci ogólnej $Ax+By+C=0$ i punktu $P=(x_0,\,y_0)$:
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
Przykład: odległość punktu $(3,\,4)$ od prostej $3x+4y-10=0$ wynosi $\frac{|9+16-10|}{\sqrt{9+16}}=\frac{15}{5}=3$.
Wzajemne położenie prostej i okręgu
Porównujemy odległość $d$ środka okręgu od prostej z promieniem $r$:
- $d>r$ — prosta rozłączna z okręgiem
- $d=r$ — prosta styczna
- $d
Na co uważać
Wzoru na odległość punktu od prostej wolno użyć dopiero wtedy, gdy prosta jest zapisana w postaci ogólnej (z zerem po prawej stronie). Równanie $y=2x+1$ trzeba najpierw przekształcić do $2x-y+1=0$.
Symetria osiowa i środkowa w układzie współrzędnych
Symetria względem osi OX
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (x,\,-y)$$
Zmienia się znak drugiej współrzędnej. Punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(4,\,2)$.
Symetria względem osi OY
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,y)$$
Zmienia się znak pierwszej współrzędnej. Punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(-4,\,-2)$.
Symetria względem początku układu
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,-y)$$
To symetria środkowa o środku $(0,\,0)$ — zmieniają się obie współrzędne.
Symetria środkowa o dowolnym środku
Dla środka $S=(a,\,b)$ obrazem punktu $P=(x,\,y)$ jest:
$$P^{\prime}=(2a-x,\ 2b-y)$$
Wynika to z faktu, że $S$ jest środkiem odcinka $PP^{\prime}$.
Symetria względem prostej $y=x$
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (y,\,x)$$
Współrzędne zamieniają się miejscami — tak właśnie powstaje wykres funkcji odwrotnej.
Własności symetrii
- zachowuje odległości — figura i jej obraz są przystające
- zachowuje miary kątów i pola
- symetria osiowa zmienia orientację figury, środkowa ją zachowuje
- złożenie dwóch symetrii osiowych o osiach prostopadłych daje symetrię środkową
Figury symetryczne
- kwadrat ma $4$ osie symetrii i środek symetrii
- prostokąt ma $2$ osie symetrii i środek symetrii
- romb ma $2$ osie symetrii (przekątne) i środek symetrii
- trójkąt równoboczny ma $3$ osie symetrii, ale nie ma środka symetrii
- koło ma nieskończenie wiele osi symetrii i środek symetrii
Na co uważać
Łatwo pomylić, która współrzędna zmienia znak. Zapamiętaj tak: symetria względem osi OX „odbija w pionie”, więc rusza $y$; symetria względem osi OY „odbija w poziomie”, więc rusza $x$. Posiadanie osi symetrii nie oznacza posiadania środka symetrii — trójkąt równoboczny jest dobrym kontrprzykładem.
Zbiory i przedziały liczbowe
Zbiory i przynależność
Zbiór to kolekcja elementów. Zapis $a\in A$ czytamy „$a$ należy do $A$”, a $a\notin A$ — „nie należy”. Symbol $\subset$ dotyczy dwóch zbiorów: $A\subset B$ znaczy, że każdy element $A$ jest też elementem $B$.
Działania na zbiorach
- Suma $A\cup B$ — elementy należące do $A$ lub do $B$
- Część wspólna $A\cap B$ — elementy należące do $A$ i do $B$
- Różnica $A\setminus B$ — elementy $A$, które nie należą do $B$
Różnica nie jest przemienna: $A\setminus B$ to zwykle co innego niż $B\setminus A$.
Liczba podzbiorów
$$\text{zbiór } n\text{-elementowy ma } 2^n \text{ podzbiorów}$$
Wliczamy w to zbiór pusty i cały zbiór — o nich najłatwiej zapomnieć.
Zbiory liczbowe
$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$
naturalne, całkowite, wymierne, rzeczywiste. Liczby niewymierne (np. $\sqrt2$, $\pi$) należą do $\mathbb{R}$, ale nie do $\mathbb{Q}$.
Przedziały — zapis
- $\langle a,\,b\rangle$ — domknięty, oba końce należą ($a\le x\le b$)
- $(a,\,b)$ — otwarty, końce nie należą ($a
- $\langle a,\,b)$ — domknięty z lewej ($a\le x
- $\langle a,\,b)$ — domknięty z lewej ($a\le x
Przy nieskończoności zawsze nawias okrągły: $\langle 3,\,+\infty)$ — nieskończoność nie jest liczbą i nie może należeć do przedziału.
Działania na przedziałach
Warto naszkicować oba przedziały na jednej osi liczbowej.
- część wspólna — od większego lewego końca do mniejszego prawego
- suma — od mniejszego lewego do większego prawego (o ile przedziały się zazębiają)
Przykład: $\langle 1,\,6\rangle\cap\langle 4,\,9\rangle=\langle 4,\,6\rangle$.
Na co uważać
Nie mylić $\in$ (element i zbiór) z $\subset$ (dwa zbiory). Przy liczeniu liczb całkowitych w przedziale sprawdź uważnie, czy końce należą — najczęstszy błąd to pomyłka o jeden. Jeśli przedziały nie mają części wspólnej, ich suma zostaje zapisana z symbolem $\cup$ i nie da się jej „skleić” w jeden przedział.
Nierówności kwadratowe i wzory Viete
Schemat rozwiązywania nierówności kwadratowej
- przenieś wszystko na jedną stronę, tak aby po drugiej został zero
- znajdź miejsca zerowe trójmianu
- ustal kierunek ramion paraboli ze znaku $a$
- naszkicuj parabolę i odczytaj przedziały
- dobierz nawiasy: ostre przy nierówności nieostrej, okrągłe przy ostrej
Klucz — kierunek ramion
Dla $a>0$ (ramiona w górę):
- wartości ujemne — między miejscami zerowymi
- wartości dodatnie — na zewnątrz, w dwóch przedziałach
Dla $a<0$ obszary zamieniają się miejscami — to najczęstsze źródło błędów.
Przykład
Nierówność $x^2-5x+6\ge0$. Miejsca zerowe to $2$ i $3$, a $a=1>0$, więc wartości nieujemne leżą na zewnątrz:
$$x\in(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$$
Przypadki bez miejsc zerowych
Gdy $\Delta<0$, parabola nie przecina osi OX. Wtedy dla $a>0$ cała leży nad osią (np. $x^2+1>0$ jest spełnione zawsze), a dla $a<0$ — pod osią.
Wzory Viete
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$
Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania. Wymagają jednak, aby pierwiastki istniały, czyli $\Delta\ge0$ — ten warunek trzeba sprawdzać zawsze.
Typowe zastosowania Viete
- oba pierwiastki dodatnie: $\Delta>0$ oraz suma $>0$ i iloczyn $>0$
- oba ujemne: $\Delta>0$ oraz suma $<0$ i iloczyn $>0$
- różnych znaków: wystarczy iloczyn $<0$
- $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ — pozwala policzyć sumę kwadratów
Równania sprowadzalne do kwadratowych
Równanie dwukwadratowe $ax^4+bx^2+c=0$ rozwiązujemy podstawieniem $t=x^2$ przy warunku $t\ge0$. Każde nieujemne $t$ daje dwa rozwiązania w $x$: $x=\pm\sqrt{t}$.
Na co uważać
Sama dodatnia suma pierwiastków nie gwarantuje, że oba są dodatnie — potrzebny jest jeszcze dodatni iloczyn. Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną odwracamy znak. Odpowiedź $x\le3$ dla nierówności $x^2\le9$ jest błędna: brakuje ograniczenia od dołu.
Równania wymierne
Czym jest równanie wymierne
To równanie, w którym niewiadoma występuje w mianowniku. Przez to pojawia się ograniczenie dziedziny, którego nie wolno pominąć.
Schemat rozwiązywania
- Wyznacz dziedzinę — przyrównaj każdy mianownik do zera i wyklucz te wartości
- sprowadź obie strony do wspólnego mianownika albo pomnóż równanie przez mianowniki
- rozwiąż powstałe równanie wielomianowe
- Skonfrontuj wyniki z dziedziną i odrzuć te, które do niej nie należą
Krok pierwszy i czwarty są równie ważne jak sam rachunek.
Kiedy ułamek jest zerem
$$\frac{W(x)}{M(x)}=0 \iff W(x)=0 \ \text{ oraz } \ M(x)\neq0$$
O zerowaniu decyduje wyłącznie licznik — mianownik odpowiada tylko za dziedzinę.
Przykład
Równanie $\frac{x+2}{x-1}=2$. Dziedzina: $x\neq1$.
$$x+2=2(x-1) \quad\Rightarrow\quad x+2=2x-2 \quad\Rightarrow\quad x=4$$
Wynik $4$ należy do dziedziny, więc jest rozwiązaniem.
Przykład z odrzuceniem
Równanie $\frac{x+3}{x-2}=1$ prowadzi do $x+3=x-2$, czyli $3=-2$ — sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązań.
Działania na wyrażeniach wymiernych
- skracanie — tylko przez wspólny czynnik licznika i mianownika, nigdy przez składnik
- dodawanie i odejmowanie — sprowadzamy do wspólnego mianownika
- mnożenie — licznik przez licznik, mianownik przez mianownik
- dzielenie — mnożymy przez odwrotność
Funkcja homograficzna
Wykresem $f(x)=\frac{a}{x}$ jest hiperbola z asymptotami $x=0$ i $y=0$. Postać $f(x)=\frac{a}{x-p}+q$ przesuwa ją o wektor $[p,\,q]$, a asymptoty stają się $x=p$ i $y=q$.
Na co uważać
Mnożenie równania przez wyrażenie z niewiadomą może wprowadzić rozwiązania obce — dlatego końcowe sprawdzenie dziedziny jest obowiązkowe. Po skróceniu wyrażenia założenia nadal obowiązują: $\frac{x^2-4}{x+2}=x-2$, ale wyłącznie dla $x\neq-2$.
Granice i asymptoty wykresu
Pojęcie granicy
Granica $\lim_{x\to x_0}f(x)$ opisuje, do jakiej wartości zbliżają się wartości funkcji, gdy argument zbliża się do $x_0$. Sama wartość $f(x_0)$ nie ma tu znaczenia — funkcja nie musi być nawet w tym punkcie określona.
Granice funkcji ciągłych
Dla wielomianów i innych funkcji ciągłych granicę liczymy przez zwykłe podstawienie:
$$\lim_{x\to 2}(3x+1)=7$$
Symbol nieoznaczony 0/0
Gdy podstawienie daje $\frac00$, trzeba przekształcić wyrażenie:
- rozłożyć licznik i mianownik na czynniki i skrócić
- usunąć niewymierność przez sprzężenie
Przykład: $\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$. Skracanie jest dozwolone, bo $x$ tylko dąży do $3$, nigdy nie jest mu równe.
Granice w nieskończoności — iloraz wielomianów
Porównujemy stopnie licznika i mianownika:
- stopnie równe — granica to iloraz współczynników wiodących
- licznik niższego stopnia — granica wynosi $0$
- licznik wyższego stopnia — granica niewłaściwa ($\pm\infty$)
Przykład: $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+5}{x^2-1}=3$.
Granice jednostronne
Granica obustronna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie jednostronne istnieją i są równe. Dla $f(x)=\frac1x$ mamy $\lim_{x\to0^{+}}=+\infty$, a $\lim_{x\to0^{-}}=-\infty$, więc granica w zerze nie istnieje.
Ciągłość w punkcie
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$
Wymaga trzech rzeczy naraz: istnienia $f(x_0)$, istnienia granicy i ich równości.
Asymptoty
- Pionowa $x=a$ — gdy granica jednostronna w $a$ jest nieskończona. Szukamy tam, gdzie zeruje się mianownik przy niezerowym liczniku
- Pozioma $y=b$ — gdy $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b$
Asymptota pozioma i ukośna wykluczają się wzajemnie.
Na co uważać
Zerowanie mianownika samo w sobie nie gwarantuje asymptoty pionowej — jeśli licznik też się zeruje, może dojść do skrócenia i powstanie tylko „dziura” w wykresie (nieciągłość usuwalna). Zawsze sprawdzaj licznik.
Równania trygonometryczne
Wartości kątów szczególnych
$$\sin 30^\circ=\tfrac12,\quad \sin 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2},\quad \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$$
$$\cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2},\quad \cos 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2},\quad \cos 60^\circ=\tfrac12$$
$$\tg 30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3},\quad \tg 45^\circ=1,\quad \tg 60^\circ=\sqrt3$$
Znaki w ćwiartkach
- I ćwiartka — wszystkie funkcje dodatnie
- II — dodatni tylko sinus
- III — dodatni tylko tangens
- IV — dodatni tylko cosinus
Jedynka trygonometryczna
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$
Zachodzi dla dowolnego kąta. Pozwala policzyć jedną funkcję ze znajomości drugiej, ale daje tylko wartość bezwzględną — znak rozstrzyga informacja o ćwiartce.
Pozostałe tożsamości
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad 1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$$
Rozwiązywanie prostych równań
Schemat: wyznacz wartość funkcji, znajdź kąt podstawowy, a potem wszystkie kąty w zadanym przedziale.
- dla $\sin x=a$ drugie rozwiązanie to $180^\circ-\alpha$
- dla $\cos x=a$ drugie rozwiązanie to $360^\circ-\alpha$
- dla $\tg x=a$ kolejne rozwiązania powtarzają się co $180^\circ$
Przykład
Równanie $2\sin x=1$ w przedziale $\langle 0^\circ,\,360^\circ)$. Z $\sin x=\frac12$ mamy kąt podstawowy $30^\circ$, a drugie rozwiązanie to $180^\circ-30^\circ=150^\circ$.
Miara łukowa
$$180^\circ=\pi,\qquad \text{stopnie}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\text{radiany}$$
Warto pamiętać: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$, $\frac{\pi}{4}=45^\circ$, $\frac{\pi}{3}=60^\circ$, $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
Okresowość
Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens $\pi$. Dlatego równanie trygonometryczne ma na całej osi nieskończenie wiele rozwiązań — zadanie zwykle ogranicza je do przedziału.
Na co uważać
Najczęstszy błąd to podanie tylko jednego rozwiązania. Na pełnym okręgu równanie z sinusem lub cosinusem ma zwykle dwa rozwiązania — sprawdź obie ćwiartki, w których dana funkcja ma właściwy znak.
Powtórzenie maturalne — kluczowe wzory
Liczby i wyrażenia
$$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$
$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\qquad \log_a x^n=n\log_a x$$
Procenty
$$\text{po zmianie o } p\%:\ a\left(1\pm\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{procent składany: } K_n=K_0\left(1+\tfrac{p}{100}\right)^n$$
Podwyżka i obniżka o ten sam procent nie znoszą się — drugi procent liczony jest od innej kwoty.
Funkcja kwadratowa
$$\Delta=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad p=\frac{-b}{2a}$$
Postać kanoniczna $y=a(x-p)^2+q$ pokazuje wierzchołek $W=(p,\,q)$ wprost.
Ciągi
$$\text{arytmetyczny: } a_n=a_1+(n-1)r,\qquad S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
$$\text{geometryczny: } a_n=a_1q^{n-1},\qquad S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} \ (q\neq1)$$
Planimetria
$$c^2=a^2+b^2 \ \text{(Pitagoras)},\qquad P_{\triangle}=\tfrac12 ab\sin\gamma$$
Kąt wpisany jest połową środkowego opartego na tym samym łuku; kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$.
Geometria analityczna
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\qquad S=\left(\tfrac{x_A+x_B}{2},\ \tfrac{y_A+y_B}{2}\right)$$
$$k\parallel l \iff a_1=a_2,\qquad k\perp l \iff a_1a_2=-1$$
Stereometria
$$V_{gr}=P_p H,\qquad V_{ostr}=\tfrac13 P_p H,\qquad V_{walca}=\pi r^2H,\qquad V_{kuli}=\tfrac43\pi r^3$$
Prawdopodobieństwo i statystyka
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad P(A\prime)=1-P(A)$$
Mediana jest odporna na wartości odstające, średnia nie. Przy grupach o różnej liczebności liczymy średnią ważoną, a nie zwykłą.
Trójki pitagorejskie warte zapamiętania
$3$–$4$–$5$, $5$–$12$–$13$, $8$–$15$–$17$ oraz ich wielokrotności (np. $9$–$12$–$15$).
Na co uważać
Na maturze najwięcej punktów przepada nie na trudnych rachunkach, lecz na pominiętych warunkach: dziedzinie w równaniach wymiernych i logarytmicznych, warunku $\Delta\ge0$ przy wzorach Viete oraz odrzuceniu wyników bez sensu fizycznego (ujemny bok, ujemny wiek). Zawsze wracaj na koniec do pytania z treści zadania.
Pierwiastki i potęgi o wykładniku wymiernym
Wykładnik całkowity
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad a^0=1 \ (a\neq0)$$
Ujemny wykładnik daje ułamek, a nie liczbę ujemną: $3^{-2}=\frac19$, a nie $-9$. Dla ułamka w podstawie działa to jak odwrócenie: $\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32$.
Wykładnik wymierny
$$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},\qquad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$
Przykłady: $16^{\frac12}=4$, $8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=4$, $\left(\frac14\right)^{-\frac12}=4^{\frac12}=2$.
Praktyczna sztuczka: zamień podstawę na potęgę liczby pierwszej. $8^{\frac23}=(2^3)^{\frac23}=2^2=4$ liczy się szybciej niż przez pierwiastek.
Działania na pierwiastkach
$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab},\qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$
Dodawanie i odejmowanie nie rozdziela się pod pierwiastkiem: $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$, ale $\sqrt{25}=5$.
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Szukamy największego kwadratu ukrytego w liczbie:
$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2,\qquad \sqrt{18}=3\sqrt2,\qquad \sqrt{32}=4\sqrt2$$
Po sprowadzeniu do tego samego pierwiastka można dodawać: $5\sqrt2+3\sqrt2=8\sqrt2$.
Pierwiastki stopnia nieparzystego
Istnieją także dla liczb ujemnych: $\sqrt[3]{-27}=-3$, bo $(-3)^3=-27$. Pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.
Usuwanie niewymierności z mianownika
Pojedynczy pierwiastek — mnożymy przez niego licznik i mianownik:
$$\frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$
Suma lub różnica — mnożymy przez sprzężenie, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:
$$\frac{4}{\sqrt5-1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{5-1}=\sqrt5+1$$
Na co uważać
Zapis $\sqrt{a^2}=|a|$, a nie $a$ — dla $a=-3$ mamy $\sqrt{9}=3$. Pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, dlatego równanie $x^2=9$ ma dwa rozwiązania, ale $\sqrt9$ oznacza tylko $3$.
Odczytywanie własności funkcji z wykresu
Co da się odczytać
Wykres jest pełnym opisem funkcji — wystarczy wiedzieć, gdzie patrzeć.
Dziedzina i zbiór wartości
- Dziedzina — rzut wykresu na oś $OX$: dla jakich argumentów wykres istnieje
- Zbiór wartości — rzut na oś $OY$: jakie wartości funkcja przyjmuje
Kółko puste oznacza, że punkt nie należy do wykresu, pełne — że należy.
Miejsca zerowe
To argumenty, dla których $f(x)=0$ — punkty przecięcia wykresu z osią $OX$. Odczytujemy ich pierwsze współrzędne.
Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0,\,f(0))$ — to nie jest miejsce zerowe.
Znak funkcji
Funkcja jest dodatnia tam, gdzie wykres leży nad osią $OX$, a ujemna tam, gdzie leży pod nią. Odpowiedź podajemy jako przedziały argumentów.
Monotoniczność
- rosnąca — im dalej w prawo, tym wyżej: większy argument daje większą wartość
- malejąca — im dalej w prawo, tym niżej
- stała — wykres poziomy
Monotoniczność zawsze podajemy w przedziałach, nigdy jako sumę przedziałów.
Wartość największa i najmniejsza
Odczytujemy je z osi $OY$ — jako wartości, nie argumenty. Dla $f(x)=-x^2+4$ największa wartość to $4$, osiągana dla $x=0$.
Argumenty spełniające warunek
„Dla jakich $x$ zachodzi $f(x)=2$?” — prowadzimy poziomą prostą $y=2$ i odczytujemy pierwsze współrzędne punktów przecięcia. Rozwiązań może być kilka.
Czy to w ogóle funkcja
Test pionowej prostej: jeśli jakakolwiek prosta pionowa przecina wykres więcej niż raz, to nie jest wykres funkcji — jednemu argumentowi odpowiadałyby dwie wartości.
Parzystość
Wykres symetryczny względem osi $OY$ — funkcja parzysta ($f(-x)=f(x)$). Symetryczny względem początku układu — nieparzysta ($f(-x)=-f(x)$).
Na co uważać
Najczęstsze pomyłki to mylenie argumentu z wartością (miejsce zerowe to $x$, a wartość największa to $y$) oraz podawanie monotoniczności jako sumy przedziałów — funkcja $f(x)=\frac1x$ maleje w $(-\infty,0)$ i osobno w $(0,+\infty)$, ale nie na sumie tych zbiorów.
Nierówności wielomianowe i wymierne
Schemat rozwiązywania
- przenieś wszystko na jedną stronę, żeby po drugiej zostało zero
- rozłóż na czynniki
- znajdź pierwiastki i zaznacz je na osi
- ustal znaki w przedziałach
- odczytaj odpowiedź, pilnując nawiasów
Rysowanie krzywej znaków
Zaznaczamy pierwiastki na osi. Krzywą prowadzimy od prawej strony z góry, jeśli współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni. Przy każdym pierwiastku jednokrotnym krzywa przechodzi przez oś, przy dwukrotnym (ogólnie: parzystej krotności) tylko jej dotyka i wraca.
Dlatego $W(x)=(x-1)^2(x+4)$ zmienia znak wyłącznie w $x=-4$.
Przykład
$(x-1)(x-2)(x-3)<0$. Pierwiastki $1$, $2$, $3$; znaki od prawej: $+,-,+,-$. Odpowiedź: $x\in(-\infty,1)\cup(2,3)$.
Nierówności wymierne — zamiana na iloczyn
Ułamek ma taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika, więc:
$$\frac{L(x)}{M(x)}>0 \iff L(x)\cdot M(x)>0 \quad\text{przy } M(x)\neq0$$
To pozwala korzystać z tej samej krzywej znaków co przy wielomianach.
Czego nie wolno robić
Nie mnożymy nierówności przez mianownik z niewiadomą — nie znamy jego znaku, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności. Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
$$\frac{x+2}{x-1}\ge1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x+2-(x-1)}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad x>1$$
Nawiasy — najczęstsze źródło utraty punktu
- nierówność ostra ($<$, $>$) — nawiasy zawsze otwarte
- nierówność nieostra ($\le$, $\ge$) — pierwiastki licznika domykamy
- pierwiastki mianownika zostają wyłączone zawsze, nawet przy $\le$
Stąd $\frac{x}{x-3}\ge0$ daje $x\in(-\infty,0\rangle\cup(3,+\infty)$ — zero domknięte, trójka nie.
Nierówności bez dzielenia przez zmienną
Z $x^3\ge4x$ nie wolno skracać przez $x$ (gubimy rozwiązania i mylimy znak). Poprawnie:
$$x^3-4x\ge0 \iff x(x-2)(x+2)\ge0 \iff x\in\langle-2,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$$
Kontrola wyniku
Podstaw jedną liczbę z każdego wyznaczonego przedziału do wyjściowej nierówności. To zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje niemal każdy błąd znaku.
Na co uważać
Trzy klasyczne błędy: dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą, pominięcie warunku na dziedzinę oraz mechaniczne naprzemienne wpisywanie znaków bez sprawdzenia krotności pierwiastków.
Wyrażenia wymierne — działania i dziedzina
Dziedzina przede wszystkim
Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów. Zanim cokolwiek policzymy, wykluczamy miejsca zerowe mianownika.
Dla $\frac{x}{x^2-16}$ mamy $x\neq4$ i $x\neq-4$. Pominięcie wartości ujemnej to najczęstszy błąd.
Skracanie — tylko czynniki
Skracać wolno wyłącznie wspólny czynnik licznika i mianownika, nigdy składnik sumy.
$$\frac{x(x+2)}{x}=x+2 \ ✔ \qquad \frac{x+3}{x+5}\neq\frac{3}{5} \ ✘$$
Test liczbowy rozstrzyga wątpliwości: dla $x=1$ mamy $\frac{4}{6}=\frac23$, a nie $\frac35$.
Założenia zostają po skróceniu
$$\frac{x^2-4}{x+2}=x-2 \quad\text{ale tylko dla } x\neq-2$$
Skrócenie nie „naprawia” dziedziny — wyrażenie po lewej stronie dla $x=-2$ nie istnieje, choć prawa strona dałaby $-4$.
Mnożenie i dzielenie
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$
Dzielenie to mnożenie przez odwrotność. Przy dzieleniu dochodzi dodatkowy warunek: dzielnik też nie może być zerem.
Dodawanie i odejmowanie
Sprowadzamy do wspólnego mianownika. Dla $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$ wspólnym mianownikiem jest $x(x+1)$:
$$\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x^2+x}$$
Przy odejmowaniu uwaga na minus przed nawiasem: $\frac{3x-(x-2)}{\dots}=\frac{2x+2}{\dots}$, a nie $3x-x-2$.
Kolejność pracy
- rozłóż licznik i mianownik na czynniki
- ustal dziedzinę — z mianownika przed skróceniem
- skróć, co się da
- wykonaj działanie
- przypomnij założenia w odpowiedzi
Równania wymierne
Po wyznaczeniu dziedziny mnożymy przez mianownik (wolno, bo w dziedzinie jest niezerowy) i rozwiązujemy. Na końcu obowiązkowo sprawdzamy, czy wynik należy do dziedziny — inaczej ryzykujemy rozwiązanie obce.
Zastosowania — zadania o pracy
Gdy jeden malarz kończy w $4$ h, a drugi w $6$ h, ich wydajności to $\frac14$ i $\frac16$ pokoju na godzinę. Razem: $\frac14+\frac16=\frac{5}{12}$, więc czas to odwrotność, czyli $\frac{12}{5}=2{,}4$ h.
Nigdy nie uśredniaj czasów — średnia z $4$ i $6$ dałaby $5$ h, czyli dłużej niż praca szybszego malarza samego. To oczywisty nonsens.
Na co uważać
Trzy pułapki: skracanie składników zamiast czynników, pominięcie ujemnego pierwiastka w dziedzinie oraz zapomnienie o sprawdzeniu wyniku równania.
Wektory i iloczyn skalarny
Wektor i jego współrzędne
$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$$
Od końca odejmujemy początek. Wektor $\vec{BA}$ ma te same liczby ze zmienionym znakiem — to wektor przeciwny.
Działania
$$\vec{u}\pm\vec{v}=[u_1\pm v_1,\ u_2\pm v_2],\qquad k\vec{u}=[ku_1,\ ku_2]$$
Mnożenie przez liczbę dodatnią zmienia długość, zachowując kierunek i zwrot. Liczba ujemna dodatkowo odwraca zwrot.
Długość wektora
$$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
To twierdzenie Pitagorasa w przebraniu.
Wektor jednostkowy
$$\vec{e}=\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}$$
Dla $\vec{u}=[3,-4]$ długość wynosi $5$, więc $\vec{e}=\left[\frac35,-\frac45\right]$. Sprawdzenie: $\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=1$ ✔
Iloczyn skalarny
$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$$
Wynikiem jest liczba, nie wektor — to pierwsza rzecz do zapamiętania.
Co mówi znak iloczynu
- dodatni — kąt ostry
- zero — kąt prosty
- ujemny — kąt rozwarty
Długości są zawsze dodatnie, więc o znaku decyduje wyłącznie $\cos\alpha$.
Prostopadłość i równoległość
$$\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$$
$$\vec{u}\parallel\vec{v} \iff \vec{v}=k\vec{u} \ \text{dla pewnego } k$$
Przykład: $[3,\,4]$ i $[-8,\,6]$ są prostopadłe, bo $-24+24=0$. Natomiast $[2,\,6]$ i $[1,\,3]$ są równoległe, bo pierwszy to podwojony drugi.
Kąt między wektorami
$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$
Dla $[1,\,\sqrt3]$ i $[\sqrt3,\,1]$: iloczyn to $2\sqrt3$, obie długości po $2$, więc $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ i $\alpha=30^\circ$.
Kwadrat długości
$$\vec{u}\circ\vec{u}=|\vec{u}|^2$$
Bo kąt wektora z samym sobą wynosi $0^\circ$, a $\cos0^\circ=1$.
Zastosowania
Przesunięcie punktu: do współrzędnych punktu dodajemy współrzędne wektora.
Czwarty wierzchołek równoległoboku $ABCD$: korzystamy z $\vec{AD}=\vec{BC}$.
Kąt prosty w trójkącie: wystarczy pokazać, że iloczyn skalarny dwóch boków wychodzących z wierzchołka wynosi zero.
Na co uważać
Nie myl iloczynu skalarnego z mnożeniem współrzędnych „po parach” dającym wektor — wynik jest liczbą. Przy wyznaczaniu wektora z dwóch punktów zawsze odejmuj początek od końca, nie odwrotnie.
Ekstrema funkcji i zadania optymalizacyjne
Pochodna a monotoniczność
Znak pochodnej mówi, jak zachowuje się funkcja:
- $f'(x)>0$ — funkcja rośnie
- $f'(x)<0$ — funkcja maleje
- $f'(x)=0$ — punkt krytyczny (kandydat na ekstremum)
Warunek konieczny nie wystarcza
Zerowanie się pochodnej to za mało. Ekstremum jest tam, gdzie pochodna zmienia znak:
- z $+$ na $-$ — maksimum
- z $-$ na $+$ — minimum
Kontrprzykład: $f(x)=x^3$ ma $f'(0)=0$, ale pochodna $3x^2$ jest dodatnia po obu stronach zera — nie ma tam ekstremum, tylko punkt przegięcia.
Wartość największa na przedziale domkniętym
Porównujemy wartości funkcji w punktach krytycznych oraz na końcach przedziału. Ekstremum globalne może wypaść na brzegu, gdzie pochodna wcale nie musi się zerować.
Przykład: $f(x)=x^2-4x+1$ na $\langle0,\,3\rangle$. Punkt krytyczny $x=2$, a wartości to $f(0)=1$, $f(2)=-3$, $f(3)=-2$. Najmniejsza $-3$, największa $1$.
Schemat zadania optymalizacyjnego
- wprowadź zmienną i nazwij, co optymalizujesz
- zapisz warunek wiążący wielkości (obwód, objętość, długość materiału)
- wyeliminuj jedną zmienną i zapisz funkcję celu
- ustal dziedzinę wynikającą z sensu zadania
- policz pochodną i znajdź punkty krytyczne
- sprawdź, czy to maksimum czy minimum
- wróć do pytania z treści
Kroki czwarty i siódmy są równie ważne jak rachunek — najwięcej punktów przepada na pominiętej dziedzinie i na odpowiedzi „obok pytania”.
Klasyczne wyniki warte zapamiętania
- spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat
- przy ogrodzeniu trzech boków (czwarty to ściana) optymalny prostokąt ma bok równoległy do ściany dwa razy dłuższy
- puszka walcowa o danej objętości i najmniejszym polu ma wysokość równą średnicy
- iloczyn dwóch liczb o danej sumie jest największy, gdy liczby są równe
Przykład — pudełko z blachy
Z kwadratu o boku $12$ wycinamy rogi o boku $x$ i zaginamy. Wtedy $V(x)=x(12-2x)^2$ dla $x\in(0,\,6)$. Pochodna $12(x-2)(x-6)$ zeruje się w $x=2$ (drugi pierwiastek odpada — poza dziedziną). Maksymalna objętość to $128$.
Styczna do wykresu
$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Pochodna w punkcie to współczynnik kierunkowy stycznej — to jej interpretacja geometryczna.
Na co uważać
Dziedzina z sensu zadania potrafi odrzucić pierwiastek, który formalnie wychodzi z rachunku. Sprawdzaj też, czy wynik jest sensowny fizycznie: ujemny bok albo objętość większa od materiału wyjściowego sygnalizują błąd.
Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite i wzór Bayesa
Prawdopodobieństwo warunkowe
$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$
Informacja, że zaszło $B$, zawęża przestrzeń zdarzeń — dlatego dzielimy przez $P(B)$.
Praktycznie często wystarczy przeliczyć zdarzenia sprzyjające już wewnątrz $B$. Pytając o asa wśród kart czerwonych: asów czerwonych jest $2$, kart czerwonych $26$, więc $\frac{2}{26}=\frac{1}{13}$.
Niezależność
$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \iff P(A|B)=P(A)$$
Zajście jednego zdarzenia nie zmienia szans drugiego.
Rozłączne to nie niezależne
To dwa zupełnie różne pojęcia — mylenie ich jest bardzo częste.
Dla zdarzeń rozłącznych $P(A\cap B)=0$. Gdyby były niezależne, musiałoby zachodzić $P(A)P(B)=0$, czyli jedno z nich miałoby prawdopodobieństwo zero. Zdarzenia rozłączne o dodatnich prawdopodobieństwach nigdy nie są niezależne — przeciwnie, są maksymalnie zależne: gdy zaszło jedno, drugie na pewno nie zaszło.
Suma zdarzeń
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
Odejmujemy część wspólną, bo inaczej policzylibyśmy ją dwa razy. Dla zdarzeń rozłącznych ten składnik znika.
Zdarzenie przeciwne
$$P(A\prime)=1-P(A)$$
To najczęściej używany skrót w zadaniach z „co najmniej”. Zamiast sumować przypadki „dokładnie jeden”, „dokładnie dwa”, „trzy”, liczymy dopełnienie:
$$P(\text{co najmniej jeden orzeł w 3 rzutach})=1-\left(\tfrac12\right)^3=\tfrac78$$
Losowanie bez zwracania
Kolejne losowania są zależne — po wyjęciu kuli zmienia się zarówno licznik, jak i mianownik.
Dla $4$ białych z $10$ kul: $P(\text{dwie białe})=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{2}{15}$.
Prawdopodobieństwo całkowite
$$P(A)=\sum_i P(A|B_i)\cdot P(B_i)$$
Rysujemy drzewo stochastyczne i sumujemy iloczyny wzdłuż wszystkich ścieżek prowadzących do $A$.
Przykład — dwie linie produkcyjne: $P(W)=0{,}7\cdot0{,}02+0{,}3\cdot0{,}05=0{,}029$.
Kontrola: wynik zawsze mieści się między najmniejszym a największym z prawdopodobieństw warunkowych — to średnia ważona.
Wzór Bayesa
$$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)\cdot P(B_i)}{P(A)}$$
Odwraca kierunek pytania: znamy skutek, pytamy o przyczynę.
Paradoks testu medycznego
Test wykrywa chorobę u $99\%$ chorych i myli się u $2\%$ zdrowych, a choruje $1\%$ populacji. Wtedy $P(T)=0{,}0099+0{,}0198=0{,}0297$, więc:
$$P(C|T)=\frac{0{,}0099}{0{,}0297}=\frac13$$
Dodatni wynik oznacza chorobę tylko w jednym przypadku na trzy. Powód: zdrowych jest $99$ razy więcej, więc nawet mały odsetek fałszywych alarmów daje w liczbach bezwzględnych dwa razy więcej wyników dodatnich niż prawdziwych wykryć.
Na co uważać
Rozróżniaj $P(A|B)$ od $P(B|A)$ — to zwykle zupełnie różne liczby. Przy losowaniu sprawdzaj, czy jest ze zwracaniem, czy bez. I nie mnóż prawdopodobieństw, gdy zdarzenia nie są niezależne.
Kolejność działań i nawiasy
- Nawiasy — zawsze najpierw, od wewnątrz na zewnątrz
- Potęgi i pierwiastki
- Mnożenie i dzielenie — od lewej do prawej
- Dodawanie i odejmowanie — od lewej do prawej
- Potęga w nawiasie: $2^2 = 4$
- Nawias: $8 - 4 = 4$
- Mnożenie: $3 \cdot 4 = 12$
- Dodawanie: $2 + 12 = 14$
Liczby naturalne, całkowite i wymierne
- Naturalne: liczenie sztuk, kolejności, indeksów
- Całkowite: temperatura, dług, poziom morza (−200 m)
- Wymierne: ułamki, proporcje, ceny (2,50 zł = 5/2)
- $-3 = \frac{-3}{1}$ — tak ✓
- $\frac{7}{2} = 3{,}5$ — tak ✓
- $0{,}25 = \frac{1}{4}$ — tak ✓
Strona 7 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.