Mnożymy każdy składnik przez każdy:

$$(x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6$$

$$=x^2+x-6$$

Odpowiedź: A.

Korzystamy z $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ dla $a=2x$, $b=5$:

$$(2x)^2-2\cdot2x\cdot5+5^2$$

$$=4x^2-20x+25$$

Odpowiedź: $4x^2-20x+25$.

Uwaga: $(2x)^2=4x^2$, a nie $2x^2$ — kwadratujemy również współczynnik.

To różnica kwadratów: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ dla $a=x$, $b=7$:

$$x^2-49=(x-7)(x+7)$$

Odpowiedź: C.

Zapisujemy jako kwadrat sumy:

$$102^2=(100+2)^2=100^2+2\cdot100\cdot2+2^2$$

$$=10\,000+400+4=10\,404$$

Odpowiedź: $10\,404$.

Metoda 1 — różnica kwadratów. Traktujemy całe nawiasy jako $a$ i $b$:

$$[(x+4)-(x-4)]\cdot[(x+4)+(x-4)]=8\cdot 2x=16x$$

Metoda 2 — rozwinięcie:

$$(x^2+8x+16)-(x^2-8x+16)=16x$$

Odpowiedź: $16x$.

$$3\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)+1$$

$$=3\cdot4+10+1=12+10+1=23$$

Odpowiedź: B.

Uwaga na znaki: $(-2)^2=4$ (dodatnie), a $-5\cdot(-2)=+10$.

Krok 1 — usuwamy nawias:

$$2x-6=x+5$$

Krok 2 — niewiadome na lewo, liczby na prawo:

$$2x-x=5+6$$

$$x=11$$

Sprawdzenie: lewa strona $2(11-3)=16$, prawa $11+5=16$. ✔

Odpowiedź: $x=11$.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez $6$ (wspólny mianownik):

$$2x+x=30$$

Krok 2:

$$3x=30 \quad\Rightarrow\quad x=10$$

Sprawdzenie: $\frac{10}{3}+\frac{10}{6}=\frac{20+10}{6}=5$. ✔

Odpowiedź: $x=10$.

Odejmujemy $2x$ od obu stron:

$$3=5$$

Otrzymaliśmy fałsz, więc równanie nie ma rozwiązań — jest sprzeczne.

Odpowiedź: D. Gdyby wyszło np. $3=3$, równanie byłoby tożsamościowe i spełniała je każda liczba.

Krok 1 — oznaczenie. Niech pierwsza liczba to $x$, wtedy kolejne to $x+1$ i $x+2$.

Krok 2 — równanie:

$$x+(x+1)+(x+2)=72$$

$$3x+3=72 \quad\Rightarrow\quad 3x=69 \quad\Rightarrow\quad x=23$$

Odpowiedź: liczby to $23$, $24$, $25$.

Sprawdzenie: $23+24+25=72$. ✔

Krok 1 — oznaczenie. Krótszy bok: $x$, dłuższy: $x+5$.

Krok 2 — równanie z obwodu:

$$2\big(x+(x+5)\big)=46$$

$$2(2x+5)=46 \quad\Rightarrow\quad 4x+10=46$$

$$4x=36 \quad\Rightarrow\quad x=9$$

Odpowiedź: boki mają $9$ cm i $14$ cm.

Sprawdzenie: $2(9+14)=46$. ✔

Największy wspólny dzielnik liczb $12$ i $18$ to $6$:

$$12x+18=6(2x+3)$$

Odpowiedź: A. Odpowiedź C jest poprawna rachunkowo, ale nie wyłącza największego wspólnego czynnika.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez $2$:

$$2P=(a+b)h$$

Krok 2 — dzielimy przez $(a+b)$:

$$h=\frac{2P}{a+b}$$

Odpowiedź: $h=\frac{2P}{a+b}$ (przy $a+b\ne0$).

Krok 1 — oznaczenie. Niech szukana liczba lat to $x$. Za $x$ lat ojciec będzie miał $36+x$, a syn $8+x$.

Krok 2 — równanie:

$$36+x=3(8+x)$$

$$36+x=24+3x$$

$$12=2x \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Odpowiedź: za $6$ lat.

Sprawdzenie: ojciec $42$, syn $14$, a $42=3\cdot14$. ✔

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Odpowiedź: B.

Sprawdź na liczbach, dlaczego A jest błędne: $(2+3)^2=25$, ale $2^2+3^2=13$. Brakuje właśnie członu $2ab=12$.

Grupujemy wyrazy tego samego typu:

$$(5a^2+2a^2)+(-3a+7a)-4$$

$$=7a^2+4a-4$$

Odpowiedź: $7a^2+4a-4$.

Uwaga: $a^2$ i $a$ to nie są wyrazy podobne — nie wolno ich łączyć.

Krok 1 — oznaczenie. Chłopcy: $x$, dziewczynki: $x+6$.

Krok 2 — równanie:

$$x+(x+6)=30$$

$$2x+6=30 \quad\Rightarrow\quad 2x=24 \quad\Rightarrow\quad x=12$$

Odpowiedź: $12$ chłopców i $18$ dziewczynek.

Sprawdzenie: $18-12=6$ oraz $12+18=30$. ✔

Krok 1 — usuwamy nawiasy (uwaga na minus przed drugim!):

$$3x+6-2x+2=15$$

Krok 2 — redukcja:

$$x+8=15 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Odpowiedź: $x=7$.

Najczęstszy błąd: zapisanie $-2(x-1)$ jako $-2x-2$. Minus zmienia znaki obu składników: $-2x+2$.

Krok 1 — rozwinięcie:

$$(x+3)(x+1)=x^2+x+3x+3=x^2+4x+3$$

Krok 2 — wartość dla $x=4$:

$$4^2+4\cdot4+3=16+16+3=35$$

Odpowiedź: $P=x^2+4x+3$, a dla $x=4$ pole wynosi $35$.

Sprawdzenie: $(4+3)(4+1)=7\cdot5=35$. ✔

Krok 1 — rozwijamy oba kwadraty:

$$(n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)$$

Krok 2 — redukcja:

$$=n^2+2n+1-n^2+2n-1=4n$$

Wniosek: wyrażenie równa się $4n$, czyli jest iloczynem liczby $4$ i liczby naturalnej $n$. Zatem jest podzielne przez $4$ dla każdego $n$. ∎

Uwaga: w zadaniach „wykaż, że" nie wystarczy sprawdzić kilku liczb — trzeba przeprowadzić przekształcenie ogólne, jak wyżej.