Średnia to suma podzielona przez liczbę elementów:

$$\text{średnia}=\frac{4+7+10+3}{4}=\frac{24}{4}=6$$

Pułapka: odpowiedź D to sama suma — łatwo zapomnieć o dzieleniu.

Kontrola: średnia zawsze leży między wartością najmniejszą ($3$) a największą ($10$). Zgadza się.

Odpowiedź: B. $6$.

Średnia arytmetyczna:

$$\frac{3+4+5+4+4}{5}=\frac{20}{5}=4$$

Dominanta to wartość występująca najczęściej. Ocena $4$ pojawia się trzy razy, a pozostałe po razie:

$$\text{dominanta}=4$$

Odpowiedź: średnia $4$, dominanta $4$.

Krok 1 — porządkujemy dane rosnąco. To warunek konieczny, o którym łatwo zapomnieć:

$$3,\ 5,\ 7,\ 8,\ 12$$

Krok 2 — wybieramy wartość środkową. Liczb jest $5$, czyli nieparzyście, więc mediana to element trzeci:

$$\text{mediana}=7$$

Odpowiedź: mediana wynosi $7$.

Krok 1 — porządkujemy rosnąco:

$$2,\ 4,\ 6,\ 10$$

Krok 2 — liczb jest parzyście ($4$), więc mediana to średnia dwóch środkowych:

$$\text{mediana}=\frac{4+6}{2}=5$$

Uwaga: mediana nie musi należeć do zestawu — tutaj $5$ nie występuje wśród danych.

Odpowiedź: mediana wynosi $5$.

Przekształcamy wzór na średnią:

$$\text{średnia}=\frac{\text{suma}}{n} \quad\Rightarrow\quad \text{suma}=\text{średnia}\cdot n$$

Podstawiamy dane:

$$\text{suma}=12\cdot5=60$$

Pułapka: odpowiedź D to wynik dzielenia zamiast mnożenia.

Odpowiedź: C. $60$.

Krok 1 — suma wszystkich czterech liczb:

$$9\cdot4=36$$

Krok 2 — suma trzech znanych:

$$7+10+8=25$$

Krok 3 — czwarta liczba to różnica:

$$36-25=11$$

Sprawdzenie: $\frac{7+10+8+11}{4}=\frac{36}{4}=9$ ✔

Odpowiedź: czwarta liczba to $11$.

Policzmy obie miary. Średnia:

$$\frac{2+3+3+4+100}{5}=\frac{112}{5}=22{,}4$$

Mediana (dane są już uporządkowane, środkowa to trzecia):

$$\text{mediana}=3$$

Cztery z pięciu liczb mieszczą się między $2$ a $4$, więc średnia $22{,}4$ zupełnie nie pasuje do zestawu — zawyża ją pojedyncza wartość odstająca $100$.

Wniosek: gdy w danych jest wartość odstająca, mediana opisuje je wierniej.

Odpowiedź: A.

Liczba uczniów to suma wszystkich liczebności:

$$3+8+6+3=20$$

Dominanta to ocena o największej liczebności. Najwięcej, bo $8$ osób, dostało ocenę $3$:

$$\text{dominanta}=3$$

Odpowiedź: sprawdzian pisało $20$ uczniów, dominanta ocen to $3$.

Przy danych z tabeli liczymy średnią ważoną — każdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją dostali.

Krok 1 — suma wszystkich ocen:

$$2\cdot3+3\cdot8+4\cdot6+5\cdot3=6+24+24+15=69$$

Krok 2 — dzielimy przez liczbę uczniów:

$$\frac{69}{20}=3{,}45$$

Kontrola sensu: wynik leży między $2$ a $5$ i blisko dominanty $3$ — to ma sens.

Odpowiedź: średnia ocena wynosi $3{,}45$.

Pełny kąt $360^\circ$ odpowiada $100\%$, więc:

$$\frac{72^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{5}=20\%$$

Sprawdzenie w drugą stronę: $20\%$ z $360^\circ$ to $0{,}2\cdot360^\circ=72^\circ$ ✔

Pułapka: odpowiedź A myli stopnie z procentami — to dwie różne jednostki.

Odpowiedź: D. $20\%$.

Krok 1 — liczba uczniów:

$$0{,}36\cdot250=90$$

Krok 2 — kąt wycinka:

$$0{,}36\cdot360^\circ=129{,}6^\circ$$

Kontrola: $36\%$ to nieco ponad jedna trzecia, a $129{,}6^\circ$ to nieco ponad $120^\circ$ — zgadza się.

Odpowiedź: sport wybrało $90$ uczniów, kąt wycinka to $129{,}6^\circ$.

Krok 1 — suma wzrostów przed zmianą:

$$180\cdot10=1800\ \text{cm}$$

Krok 2 — nowa suma:

$$1800+191=1991\ \text{cm}$$

Krok 3 — nowa średnia dla $11$ zawodników:

$$\frac{1991}{11}=181\ \text{cm}$$

Kontrola sensu: nowy zawodnik jest wyższy od dotychczasowej średniej, więc średnia musiała wzrosnąć — i wzrosła o $1$ cm.

Odpowiedź: nowa średnia to $181$ cm.

Średnia przed zmianą: $\frac{20}{4}=5$.

Średnia po zmianie: $\frac{25}{5}=5$.

Reguła ogólna: dodanie liczby równej dotychczasowej średniej nie zmienia jej. Liczba większa od średniej podnosi ją, a mniejsza obniża.

Odpowiedź: B.

Średnia:

$$\frac{6+9+6+12+9+6}{6}=\frac{48}{6}=8$$

Mediana — najpierw porządkujemy rosnąco:

$$6,\ 6,\ 6,\ 9,\ 9,\ 12$$

Liczb jest parzyście, więc bierzemy średnią dwóch środkowych ($6$ i $9$):

$$\text{mediana}=\frac{6+9}{2}=7{,}5$$

Dominanta — liczba $6$ występuje trzy razy, $9$ dwa razy, $12$ raz:

$$\text{dominanta}=6$$

Odpowiedź: średnia $8$, mediana $7{,}5$, dominanta $6$.

Gdy oś nie zaczyna się od zera, widzimy tylko górne fragmenty słupków. Niewielka różnica liczbowa zamienia się wtedy w wyraźną różnicę wysokości.

Przykład: wartości $98$ i $102$ różnią się o około $4\%$. Przy osi od zera słupki wyglądają niemal identycznie, ale przy osi od $95$ jeden jest ponad dwa razy wyższy od drugiego.

Wniosek: to nie jest błąd rachunkowy, ale chwyt, który może wprowadzać w błąd — dlatego przy czytaniu wykresu zawsze sprawdzaj, od czego zaczyna się oś.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — średnia:

$$\frac{12+15+9+20+15+11+15+23}{8}=\frac{120}{8}=15$$

Krok 2 — dominanta. Liczba $15$ występuje trzy razy, częściej niż każda inna:

$$\text{dominanta}=15$$

Krok 3 — kto zebrał więcej niż $15$. Sprawdzamy każdy wynik: $20$ i $23$ są większe od $15$. Wyniki równe $15$ nie są większe.

Odpowiedź: średnia i dominanta wynoszą po $15$, a więcej niż średnia zebrało $2$ uczniów.

Uwaga: nie można po prostu uśrednić $60$ i $70$ — grupy mają różną liczebność.

Krok 1 — suma punktów w każdej grupie:

$$60\cdot10=600,\qquad 70\cdot15=1050$$

Krok 2 — suma łączna:

$$600+1050=1650$$

Krok 3 — dzielimy przez łączną liczbę uczniów:

$$\frac{1650}{25}=66$$

Kontrola sensu: wynik $66$ leży między $60$ a $70$, bliżej $70$ — i słusznie, bo druga grupa jest liczniejsza. Zwykła średnia $65$ byłaby błędna.

Odpowiedź: średnia wszystkich uczniów to $66$ punktów.