$$5x=23-3=20 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Sprawdzenie: $5\cdot4+3=23$ ✔

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1 — niewiadome na lewo, liczby na prawo:

$$7x-2x=18+12$$

Krok 2 — redukujemy:

$$5x=30 \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Sprawdzenie: lewa $42-12=30$, prawa $12+18=30$ ✔

Odpowiedź: $x=6$.

Sposób 1 — dzielimy obie strony przez $3$:

$$x-2=5 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Sposób 2 — opuszczamy nawias:

$$3x-6=15 \quad\Rightarrow\quad 3x=21 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Odpowiedź: $x=7$.

Odejmujemy $2x$ od obu stron:

$$5=9$$

To zdanie fałszywe niezależnie od $x$, więc równanie nie ma rozwiązań — jest sprzeczne.

Dla porównania: gdyby wyszło $5=5$, równanie byłoby tożsamościowe i spełniałaby je każda liczba.

Odpowiedź: C. sprzeczne.

Mnożymy obie strony przez $4$:

$$x=24$$

Sprawdzenie: $\frac{24}{4}=6$ ✔

Odpowiedź: $x=24$.

Opuszczamy nawias po lewej stronie:

$$4x+4=4x+4$$

Obie strony są identyczne, więc równość zachodzi dla dowolnego $x$.

Odpowiedź: A. jest tożsamościowe — spełnia je każda liczba.

Krok 1 — zapisujemy równanie. Niech szukana liczba to $x$:

$$3x+7=31$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$3x=24 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Sprawdzenie: $8\cdot3+7=31$ ✔

Odpowiedź: liczba $8$.

Krok 1 — przekształcamy wzór. Dzielimy obie strony przez $a$:

$$b=\frac{P}{a}$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$b=\frac{84}{12}=7\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $b=\frac{P}{a}$, w tym przypadku $7$ cm.

Mnożenie przez zero zamienia każde równanie w $0=0$ — traci się wtedy całą informację i pojawiają się rozwiązania, których pierwotne równanie nie miało.

Zasada: wolno mnożyć i dzielić obie strony tylko przez liczbę różną od zera.

Odpowiedź: D. pomnożenie obu stron przez $0$.

Krok 1 — oznaczenie. Niech szukana liczba lat to $x$. Za $x$ lat ojciec będzie miał $38+x$, a syn $10+x$.

Krok 2 — równanie:

$$38+x=2(10+x)$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$38+x=20+2x \quad\Rightarrow\quad 18=x$$

Sprawdzenie: za $18$ lat ojciec będzie miał $56$, syn $28$, a $56=2\cdot28$ ✔

Odpowiedź: za $18$ lat.

Dzielimy obie strony przez $-3$:

$$x=\frac{21}{-3}=-7$$

Sprawdzenie: $-3\cdot(-7)=21$ ✔

Odpowiedź: B. $-7$.

Krok 1 — oznaczenia. Krótszy bok to $x$, dłuższy $x+5$.

Krok 2 — równanie:

$$2\left(x+(x+5)\right)=46$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$2(2x+5)=46 \quad\Rightarrow\quad 4x+10=46 \quad\Rightarrow\quad x=9$$

Krok 4 — wymiary: $9$ cm i $14$ cm.

Sprawdzenie obwodu: $2(9+14)=46$ cm ✔

Odpowiedź: $9$ cm na $14$ cm.

Krok 1 — przekształcenie:

$$t=\frac{s}{v}$$

Krok 2 — podstawienie:

$$t=\frac{270}{90}=3\ \text{godziny}$$

Odpowiedź: $t=\frac{s}{v}$, czas wynosi $3$ godziny.

Oznaczmy liczby jako $x$, $x+1$, $x+2$:

$$3x+3=54 \quad\Rightarrow\quad 3x=51 \quad\Rightarrow\quad x=17$$

Sprawdzenie: $17+18+19=54$ ✔

Odpowiedź: A. $17$.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez $3$:

$$2x-1=15$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$2x=16 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Sprawdzenie: $\frac{2\cdot8-1}{3}=\frac{15}{3}=5$ ✔

Odpowiedź: $x=8$.

Krok 1 — cena jednego biletu:

$$92:4=23\ \text{zł}$$

Krok 2 — siedem biletów:

$$7\cdot23=161\ \text{zł}$$

Odpowiedź: C. $161$ zł.

Krok 1 — oznaczenia. Chłopców jest $x$, dziewcząt $x+6$.

Krok 2 — równanie:

$$x+(x+6)=30$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$2x+6=30 \quad\Rightarrow\quad 2x=24 \quad\Rightarrow\quad x=12$$

Krok 4 — odpowiedź na pytanie z treści: chłopców $12$, dziewcząt $12+6=18$.

Sprawdzenie: $12+18=30$ ✔ oraz $18-12=6$ ✔

Odpowiedź: $12$ chłopców i $18$ dziewcząt.

Krok 1 — przewaga rowerzysty. Przez $2$ godziny przejechał:

$$18\cdot2=36\ \text{km}$$

Krok 2 — równanie. Niech $t$ to czas jazdy motocyklisty. W chwili spotkania obaj przebyli tę samą drogę od miasta A:

$$54t=36+18t$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$36t=36 \quad\Rightarrow\quad t=1$$

Sprawdzenie: motocyklista przejedzie $54$ km, a rowerzysta $36+18=54$ km ✔

Odpowiedź: po $1$ godzinie jazdy motocyklisty.

Krok 1 — równanie. Niech szukana liczba to $x$:

$$x+\frac{x}{2}=45$$

Krok 2 — mnożymy obie strony przez $2$, żeby pozbyć się ułamka:

$$2x+x=90 \quad\Rightarrow\quad 3x=90 \quad\Rightarrow\quad x=30$$

Sprawdzenie: $30+15=45$ ✔

Odpowiedź: $30$.

Krok 1 — wydajności. Zamiast myśleć o czasie, patrzymy, jaką część zbiornika każda rura napełnia w ciągu godziny:

$$\text{pierwsza: } \frac16,\qquad \text{druga: } \frac13$$

Krok 2 — wydajność wspólna:

$$\frac16+\frac13=\frac16+\frac26=\frac36=\frac12$$

Krok 3 — czas. Skoro razem napełniają pół zbiornika na godzinę, cały zajmie im:

$$t=2\ \text{godziny}$$

Uwaga: nie wolno uśredniać czasów — średnia z $6$ i $3$ dałaby $4{,}5$ godziny, czyli wynik dłuższy niż praca samej drugiej rury. To oczywisty nonsens: dołożenie rury nie może spowolnić napełniania.

Odpowiedź: $2$ godziny.