Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7=128$$

Odpowiedź: B. Odpowiedź A to efekt mnożenia wykładników — częsty błąd.

Dzielenie — wykładniki odejmujemy:

$$\frac{5^6}{5^4}=5^{6-4}=5^2=25$$

Potęga potęgi — wykładniki mnożymy:

$$(3^2)^3=3^{2\cdot3}=3^6=729$$

Odpowiedź: $5^2$ oraz $3^6$.

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną:

$$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$$

Odpowiedź: D. Wynik potęgi o dodatniej podstawie zawsze jest dodatni.

Ujemny wykładnik odwraca ułamek:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}=2\frac14$$

Odpowiedź: $\frac94$.

Szukamy liczby, której kwadrat daje $144$:

$$12^2=144 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{144}=12$$

Odpowiedź: A.

Szukamy największego kwadratu w liczbie $72$:

$$72=36\cdot2$$

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}$$

Odpowiedź: $6\sqrt2\approx8{,}49$.

Wskazówka: gdyby wyłączyć tylko $4$, otrzymalibyśmy $2\sqrt{18}$ — poprawnie, ale nie do końca uproszczone.

$$\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$$

Odpowiedź: C.

Uwaga: $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ to inne wyrażenie. Pierwiastek z sumy nie równa się sumie pierwiastków.

Korzystamy z własności $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$:

$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$$

Oraz $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$:

$$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3$$

Odpowiedź: $4$ oraz $3$.

$$3^3=27 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{27}=3$$

$$(-2)^3=-8 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{-8}=-2$$

Odpowiedź: $3$ oraz $-2$.

Różnica: pierwiastek sześcienny można wyciągać z liczb ujemnych, a kwadratowy nie.

W notacji wykładniczej liczba przed potęgą musi spełniać $1\le a<10$:

$$7\,500\,000=7{,}5\cdot10^6$$

Odpowiedź: A. Zapisy B i C są liczbowo poprawne, ale nie są notacją wykładniczą.

Przesuwamy przecinek o $4$ miejsca w prawo, co kompensujemy ujemnym wykładnikiem:

$$0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$$

Odpowiedź: $4{,}2\cdot10^{-4}$.

Mnożymy osobno liczby i osobno potęgi dziesiątki:

$$(3\cdot2)\cdot(10^4\cdot10^3)=6\cdot10^{7}$$

Odpowiedź: $6\cdot10^7$, czyli $60\,000\,000$.

$$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$$

Odpowiedź: $5$.

Reguła ogólna: $\sqrt{a^2}=|a|$, a nie $a$. Pierwiastek kwadratowy zawsze daje wynik nieujemny.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$a^2\cdot a^4=a^{2+4}=a^6$$

Odpowiedź: B.

Dlaczego pozostałe są błędne: $a^3+a^3=2a^3$ (dodawanie, nie mnożenie), $(a^2)^2=a^4$, a $3a^2$ to zupełnie inne wyrażenie.

$$0{,}25=\frac14 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{0{,}25}=\frac12=0{,}5$$

$$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt9}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $0{,}5$ oraz $\frac34$.

Krok 1 — uprość ostatni składnik:

$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2$$

Krok 2 — redukcja wyrazów podobnych. Wszystkie mają teraz $\sqrt2$:

$$3\sqrt2+5\sqrt2-2\sqrt2=(3+5-2)\sqrt2=6\sqrt2$$

Odpowiedź: $6\sqrt2$.

Zasada: pierwiastki dodajemy tak jak wyrazy podobne — tylko gdy liczba pod pierwiastkiem jest identyczna.

Bok — z pola $P=a^2$:

$$a=\sqrt{49}=7\ \text{cm}$$

Obwód:

$$Ob=4\cdot7=28\ \text{cm}$$

Odpowiedź: bok $7$ cm, obwód $28$ cm.

Dzielimy masy, rozbijając na liczby i potęgi:

$$\frac{6\cdot10^{24}}{7{,}2\cdot10^{22}}=\frac{6}{7{,}2}\cdot10^{24-22}$$

$$\approx0{,}833\cdot10^2=83{,}3$$

Odpowiedź: około $83$ razy.

Krok 1 — licznik:

$$2^5\cdot2^3=2^{8}$$

Krok 2 — dzielenie:

$$\frac{2^8}{2^6}=2^{8-6}=2^2=4$$

Odpowiedź: $4$.

Wskazówka: działanie na wykładnikach jest dużo szybsze niż obliczanie $\frac{32\cdot8}{64}$.

Krok 1 — uprość każdy pierwiastek:

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2$$

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$$

Krok 2 — odejmowanie wyrazów podobnych:

$$5\sqrt2-3\sqrt2=(5-3)\sqrt2=2\sqrt2$$

Wniosek: $\sqrt{50}-\sqrt{18}=2\sqrt2$. ∎

Uwaga: nie wolno napisać $\sqrt{50}-\sqrt{18}=\sqrt{50-18}=\sqrt{32}$ — to dałoby $4\sqrt2$, czyli wynik błędny.