Szukamy liczby, której kwadrat to $49$:

$$\sqrt{49}=7 \quad (\text{bo } 7^2=49)$$

Odpowiedź: B. $7$.

$$\sqrt{81}=9 \quad (9^2=81)$$

Odpowiedź: $9$.

$$\sqrt{100}+\sqrt{25}=10+5=15$$

Odpowiedź: $15$.

Podniesienie pierwiastka do kwadratu „znosi” pierwiastek:

$$(\sqrt5)^2=5$$

Odpowiedź: A. $5$.

Sposób 1 — osobno: $2\cdot3=6$.

Sposób 2 — wzór $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$:

$$\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=\sqrt{36}=6$$

Odpowiedź: $6$.

$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$$

Odpowiedź: C. $4$.

Krok 1 — rozkładamy na czynnik z kwadratem:

$$12=4\cdot3$$

Krok 2 — wyłączamy:

$$\sqrt{12}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt3$$

Odpowiedź: $2\sqrt3$.

Wzór $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$:

$$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5$$

Odpowiedź: $5$.

$$\sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad (0{,}5^2=0{,}25)$$

Odpowiedź: D. $0{,}5$.

Traktujemy $\sqrt2$ jak wspólny „składnik” — dodajemy współczynniki:

$$3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2$$

Odpowiedź: $8\sqrt2$.

$$\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$$

Uwaga: $\sqrt{16}+\sqrt{9}\neq\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$! Pierwiastek z sumy to NIE suma pierwiastków.

Odpowiedź: A. $7$.

$$50=25\cdot2$$

$$\sqrt{50}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt2$$

Odpowiedź: $5\sqrt2$.

Podnosimy do kwadratu oba czynniki:

$$(2\sqrt3)^2=2^2\cdot(\sqrt3)^2=4\cdot3=12$$

Odpowiedź: $12$.

$\sqrt2\approx1{,}41421...$ — rozwinięcie nieskończone nieokresowe, więc liczba niewymierna.

Odpowiedź: B. niewymierna.

Krok 1 — mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt3$:

$$\frac{6}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}$$

Krok 2 — skracamy:

$$\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$

Odpowiedź: $2\sqrt3$.

$$\sqrt{144}=12 \quad (12^2=144)$$

Odpowiedź: C. $12$.

Krok 1 — wyłączamy czynniki:

$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2$$

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$$

Krok 2 — dodajemy (ten sam pierwiastek $\sqrt2$):

$$2\sqrt2+3\sqrt2=5\sqrt2$$

Odpowiedź: $5\sqrt2$.

Krok 1 — bok to pierwiastek z pola:

$$a=\sqrt{18}$$

Krok 2 — wyłączamy czynnik:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$$

Odpowiedź: $a=3\sqrt2$.

Krok 1 — rozpoznajemy różnicę kwadratów:

$$(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)=(\sqrt5)^2-2^2$$

Krok 2 — obliczamy:

$$=5-4=1$$

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — definicja pierwiastka. $\sqrt{a^2}$ to nieujemna liczba, której kwadrat daje $a^2$.

Krok 2 — dwa przypadki. Jeśli $a\ge0$, to $\sqrt{a^2}=a$; jeśli $a<0$, to $\sqrt{a^2}=-a>0$. W obu przypadkach wynik to wartość bezwzględna:

$$\sqrt{a^2}=|a| \qquad ∎$$

Krok 3 — zastosowanie:

$$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$$

Uwaga. Częsty błąd: $\sqrt{(-5)^2}\neq-5$ — pierwiastek jest zawsze nieujemny.

Odpowiedź: $\sqrt{a^2}=|a|$, więc $\sqrt{(-5)^2}=5$.