Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Ogólnie: suma kątów $n$-kąta to $(n-2)\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

Krok 1 — trzeci kąt:

$$180^\circ-35^\circ-85^\circ=60^\circ$$

Krok 2 — rodzaj. Wszystkie kąty ($35^\circ$, $60^\circ$, $85^\circ$) są mniejsze od $90^\circ$, więc trójkąt jest ostrokątny.

Odpowiedź: $60^\circ$; trójkąt ostrokątny.

$$360^\circ-90^\circ-75^\circ-110^\circ=85^\circ$$

Odpowiedź: $85^\circ$.

W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie (przy tym samym boku) dopełniają się do $180^\circ$.

Pozostałe zdania opisują szczególne przypadki: równe kąty ma prostokąt, równe przekątne — również prostokąt, a równe boki — romb.

Odpowiedź: A. kąty leżące przy tym samym boku sumują się do $180^\circ$.

Cyrkiel — służy do kreślenia okręgów i odmierzania odcinków równej długości.

Kątomierz — służy do mierzenia i odmierzania kątów w stopniach.

Uwaga: w klasycznych konstrukcjach geometrycznych używa się wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki.

Odpowiedź: okrąg — cyrklem, kąty — kątomierzem.

$$S=(n-2)\cdot180^\circ=(8-2)\cdot180^\circ=6\cdot180^\circ=1080^\circ$$

Odpowiedź: D. $1080^\circ$.

Krok 1 — drugi kąt przy dłuższej podstawie. W trapezie równoramiennym kąty przy tej samej podstawie są równe:

$$65^\circ$$

Krok 2 — kąty przy krótszej podstawie. Kąty przy ramieniu dopełniają się do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Sprawdzenie: $65+65+115+115=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $65^\circ$, $115^\circ$, $115^\circ$.

Krok 1 — suma kątów:

$$(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt. W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe:

$$720^\circ:6=120^\circ$$

Odpowiedź: $120^\circ$.

Symetralna przecina odcinek w połowie pod kątem prostym. Każdy jej punkt jest jednakowo oddalony od obu końców odcinka.

Uwaga: odpowiedź C opisuje dwusieczną kąta — to inna konstrukcja.

Odpowiedź: B. przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła.

Krok 1 — suma kątów przy podstawie:

$$180^\circ-40^\circ=140^\circ$$

Krok 2 — są równe, więc dzielimy na pół:

$$140^\circ:2=70^\circ$$

Sprawdzenie: $40+70+70=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: po $70^\circ$.

Romb ma przekątne, które przecinają się w połowie i pod kątem prostym.

Dla porównania: w prostokącie przekątne dzielą się na połowy, ale nie są prostopadłe; w deltoidzie są prostopadłe, ale tylko jedna dzieli drugą na połowy.

Odpowiedź: C. romb.

Krok 1 — podział. Kąt $\beta$ to $1$ część, $\alpha$ to $3$ części, razem $4$ części. Kąty przyległe dają $180^\circ$:

$$180^\circ:4=45^\circ$$

Krok 2 — miary:

$$\beta=45^\circ,\qquad \alpha=3\cdot45^\circ=135^\circ$$

Sprawdzenie: $45+135=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $\alpha=135^\circ$, $\beta=45^\circ$.

Krok 1. Rozwieramy cyrkiel na promień większy niż połowa odcinka $AB$.

Krok 2. Z punktu $A$ kreślimy łuk nad i pod odcinkiem.

Krok 3. Tym samym rozwarciem kreślimy łuki z punktu $B$.

Krok 4. Łuki przecinają się w dwóch punktach — łączymy je linijką.

Dlaczego to działa: oba punkty przecięcia są jednakowo oddalone od $A$ i od $B$, a zbiór takich punktów to właśnie symetralna.

Odpowiedź: dwa łuki tym samym rozwarciem z obu końców, prosta przez punkty ich przecięcia.

Kąt zewnętrzny dopełnia kąt wewnętrzny do $180^\circ$, a suma wszystkich trzech kątów też wynosi $180^\circ$ — stąd równość.

Przykład: w trójkącie o kątach $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$ kąt zewnętrzny przy wierzchołku z $70^\circ$ wynosi $110^\circ=50^\circ+60^\circ$ ✔

Odpowiedź: A. sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.

Krok 1 — liczba części:

$$2+3+4=9$$

Krok 2 — jedna część:

$$180^\circ:9=20^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$2\cdot20^\circ=40^\circ,\qquad 3\cdot20^\circ=60^\circ,\qquad 4\cdot20^\circ=80^\circ$$

Sprawdzenie: $40+60+80=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $40^\circ$, $60^\circ$, $80^\circ$.

Z każdego z $5$ wierzchołków wychodzą przekątne do $2$ niesąsiednich wierzchołków:

$$\frac{5\cdot2}{2}=5$$

Dzielimy przez $2$, bo każdą przekątną policzyliśmy dwukrotnie — z obu końców.

Odpowiedź: D. $5$.

Kąt odpowiadający — leży po tej samej stronie prostej tnącej, w tym samym położeniu przy drugiej prostej. Jest równy:

$$58^\circ$$

Kąt naprzemianległy wewnętrzny — po przeciwnych stronach prostej tnącej. Również równy:

$$58^\circ$$

Kąt przyległy — dopełnia do kąta półpełnego:

$$180^\circ-58^\circ=122^\circ$$

Podsumowanie: przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią powstają tylko dwie różne miary kątów — tutaj $58^\circ$ i $122^\circ$.

Odpowiedź: odpowiadający $58^\circ$, naprzemianległy $58^\circ$, przyległy $122^\circ$.

Krok 1 — kąt przeciwległy jest równy:

$$110^\circ$$

Krok 2 — kąty sąsiednie dopełniają do $180^\circ$:

$$180^\circ-110^\circ=70^\circ$$

Takich kątów są dwa.

Krok 3 — kontrola sumy:

$$110+110+70+70=360^\circ \ ✔$$

Odpowiedź: $110^\circ$, $70^\circ$, $70^\circ$.

Krok 1 — suma kątów wewnętrznych:

$$(12-2)\cdot180^\circ=1800^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt wewnętrzny:

$$1800^\circ:12=150^\circ$$

Krok 3 — kąt zewnętrzny:

$$180^\circ-150^\circ=30^\circ$$

Kontrola inną drogą: suma kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$, więc dla dwunastokąta foremnego $360^\circ:12=30^\circ$ ✔

Odpowiedź: wewnętrzny $150^\circ$, zewnętrzny $30^\circ$.

Krok 1 — suma dwóch pozostałych kątów:

$$180^\circ-70^\circ=110^\circ$$

Krok 2 — oznaczenie. Niech kąt przy $C$ to $x$, wtedy kąt przy $B$ to $x+30^\circ$:

$$x+(x+30^\circ)=110^\circ$$

Krok 3 — rozwiązanie:

$$2x=80^\circ \quad\Rightarrow\quad x=40^\circ$$

Krok 4 — kąty: przy $C$ jest $40^\circ$, przy $B$ jest $70^\circ$.

Sprawdzenie: $70+70+40=180^\circ$ ✔ oraz $70-40=30^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąt przy $B$ ma $70^\circ$, przy $C$ — $40^\circ$.