Suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$:

$$180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$$

Odpowiedź: C.

Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe. Oznaczmy je $\alpha$:

$$40^\circ+2\alpha=180^\circ$$

$$2\alpha=140^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha=70^\circ$$

Odpowiedź: oba kąty przy podstawie mają po $70^\circ$.

Kąty przyległe dopełniają się do kąta półpełnego:

$$180^\circ-115^\circ=65^\circ$$

Odpowiedź: B. Odpowiedź D to kąt dopełniający do $90^\circ$ — inne pojęcie.

Jeden kąt to $90^\circ$ (prosty). Kąty ostre sumują się do $90^\circ$:

$$90^\circ-27^\circ=63^\circ$$

Odpowiedź: kąty mają $90^\circ$, $27^\circ$ i $63^\circ$.

Sprawdzenie: $90+27+63=180$. ✔

Czworokąt dzieli się przekątną na dwa trójkąty:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Odpowiedź: A. Ogólnie dla $n$-kąta: $(n-2)\cdot180^\circ$.

$$360^\circ-90^\circ-75^\circ-110^\circ=85^\circ$$

Odpowiedź: czwarty kąt ma $85^\circ$.

Pole:

$$P=a\cdot b=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Obwód:

$$Ob=2(a+b)=2\cdot13=26\ \text{cm}$$

Odpowiedź: pole $40\ \text{cm}^2$, obwód $26$ cm.

$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot12\cdot7=42\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $42\ \text{cm}^2$.

Uwaga: wysokość musi być prostopadła do wybranej podstawy.

Romb ma równe boki, ale kąty niekoniecznie proste. Prostokąt ma kąty proste, ale boki równe tylko parami. Kwadrat spełnia oba warunki naraz.

Odpowiedź: D. Kwadrat jest jednocześnie rombem i prostokątem.

$$l=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot7$$

$$l=43{,}96\ \text{cm}$$

Odpowiedź: około $43{,}96$ cm.

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $78{,}5\ \text{cm}^2$.

Pułapka: do kwadratu podnosimy promień, nie średnicę. Przy $d=10$ najpierw policz $r=5$.

Krok 1 — wymiary rzeczywiste:

$$4\ \text{cm}\cdot500=2000\ \text{cm}=20\ \text{m}$$

$$6\ \text{cm}\cdot500=3000\ \text{cm}=30\ \text{m}$$

Krok 2 — pole:

$$P=20\cdot30=600\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: $20$ m na $30$ m, pole $600\ \text{m}^2$.

Uwaga: pole nie rośnie w skali $500$, lecz $500^2$ — dlatego bezpieczniej najpierw przeliczyć boki, a dopiero potem liczyć pole.

Kąt rozwarty ma miarę większą od $90^\circ$ i mniejszą od $180^\circ$.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — bok (kwadrat ma cztery równe boki):

$$a=\frac{36}{4}=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=a^2=81\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: bok $9$ cm, pole $81\ \text{cm}^2$.

Oznaczmy kąty jako $x$, $2x$, $3x$:

$$x+2x+3x=180^\circ$$

$$6x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=30^\circ$$

Odpowiedź: $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ — to trójkąt prostokątny.

Osiami są proste przechodzące przez środki przeciwległych boków — są dwie. Przekątne prostokąta nie są osiami symetrii.

Odpowiedź: A. Kwadrat ma ich cztery, bo dochodzą jeszcze przekątne.

Przekształcamy wzór na pole trapezu:

$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{2P}{a+b}$$

$$h=\frac{2\cdot48}{16}=\frac{96}{16}=6\ \text{cm}$$

Odpowiedź: wysokość wynosi $6$ cm.

Krok 1 — suma kątów:

$$(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt. W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe:

$$\frac{720^\circ}{6}=120^\circ$$

Odpowiedź: $120^\circ$.

Krok 1 — obwód (siatka):

$$Ob=2(15+20)=70\ \text{m}$$

Krok 2 — pole (trawa):

$$P=15\cdot20=300\ \text{m}^2$$

Krok 3 — koszt:

$$300\cdot12=3600\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $70$ m siatki, trawa za $3600$ zł.

Wskazówka: ogrodzenie liczymy z obwodu, a pokrycie powierzchni z pola — to najczęstsze pomylenie w zadaniach praktycznych.

Krok 1 — oznaczenie. Niech kąt przyległy ma miarę $x$, wtedy $\alpha=3x$.

Krok 2 — równanie (kąty przyległe dają $180^\circ$):

$$x+3x=180^\circ$$

$$4x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=45^\circ$$

Odpowiedź: kąty mają $45^\circ$ i $135^\circ$.

Sprawdzenie: $135=3\cdot45$ oraz $45+135=180$. ✔