Sprowadzamy do wspólnego mianownika $6$:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$

Odpowiedź: C.

Najczęstszy błąd: dodanie osobno liczników i mianowników, co dałoby błędne $\frac25$.

Krok 1 — wspólny mianownik. $\mathrm{NWW}(6,4)=12$:

$$\frac{5}{6}=\frac{10}{12},\qquad \frac{1}{4}=\frac{3}{12}$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$$

Odpowiedź: $\frac{7}{12}$ (ułamek nieskracalny).

Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik:

$$\frac{2\cdot9}{3\cdot10}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$$

Odpowiedź: A.

Wskazówka: można skrócić przed mnożeniem — $\frac{2}{10}$ do $\frac{1}{5}$ i $\frac{9}{3}$ do $\frac{3}{1}$ — rachunki są wtedy prostsze.

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność dzielnika:

$$\frac{3}{4}:\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{2}=\frac{15}{8}$$

$$\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$$

Odpowiedź: $\frac{15}{8}=1\frac78$.

„Ułamek z liczby” oznacza mnożenie:

$$\frac{2}{5}\cdot45=\frac{2\cdot45}{5}=\frac{90}{5}=18$$

Odpowiedź: $18$.

Szybciej: $\frac15$ z $45$ to $9$, więc $\frac25$ to $2\cdot9=18$.

Najpierw zamiana na ułamek niewłaściwy:

$$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

$$\frac{3}{2}\cdot2=\frac{6}{2}=3$$

Odpowiedź: D.

Częsty błąd: pomnożenie tylko części ułamkowej i zostawienie całości bez zmian.

Potęgujemy osobno licznik i mianownik:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1^3}{2^3}=\frac{1}{8}$$

Odpowiedź: $\frac49$ oraz $\frac18$.

Krok 1 — najpierw mnożenie:

$$\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$

Krok 2 — potem dodawanie:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $\frac34$.

Uwaga: liczenie od lewej dałoby błędny wynik — kolejność działań obowiązuje tak samo jak przy liczbach całkowitych.

Krok 1 — ile zjedli razem:

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{7}{12}$$

Krok 2 — ile zostało. Cała pizza to $1=\frac{12}{12}$:

$$\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$$

Odpowiedź: zostało $\frac{5}{12}$ pizzy.

Odwrotność powstaje przez zamianę licznika z mianownikiem:

$$\frac{4}{7}\cdot\frac{7}{4}=\frac{28}{28}=1$$

Odpowiedź: B. Iloczyn liczby i jej odwrotności zawsze wynosi $1$.

Wyznaczamy $\mathrm{NWD}(36,48)$. Rozkłady: $36=2^2\cdot3^2$, $48=2^4\cdot3$, więc $\mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$.

$$\frac{36:12}{48:12}=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $\frac34$.

Krok 1 — pierwsze zużycie:

$$\frac{1}{3}\cdot60=20\ \text{l}$$

Zostało $60-20=40$ l.

Krok 2 — drugie zużycie (liczone od pozostałej wody):

$$\frac{1}{4}\cdot40=10\ \text{l}$$

Krok 3: $40-10=30$ l.

Odpowiedź: zostało $30$ litrów.

Pułapka: drugi ułamek dotyczy reszty, a nie początkowych $60$ litrów.

Sprowadzamy do wspólnego mianownika $24$:

$$\frac{5}{8}=\frac{15}{24},\qquad \frac{2}{3}=\frac{16}{24}$$

Ponieważ $16>15$, większa jest $\frac23$.

Odpowiedź: A.

Pierwsza zamiana:

$$3\frac{2}{5}=\frac{3\cdot5+2}{5}=\frac{17}{5}$$

Druga zamiana. Dzielimy z resztą: $17:4=4$ r. $1$:

$$\frac{17}{4}=4\frac{1}{4}$$

Odpowiedź: $\frac{17}{5}$ oraz $4\frac14$.

Metoda 1 — przez ułamki niewłaściwe:

$$\frac{7}{3}+\frac{3}{2}=\frac{14}{6}+\frac{9}{6}=\frac{23}{6}=3\frac{5}{6}$$

Metoda 2 — osobno całości i ułamki:

$$(2+1)+\left(\frac13+\frac12\right)=3+\frac{5}{6}=3\frac{5}{6}$$

Odpowiedź: $3\frac56$.

Dzielenie przez liczbę całkowitą to mnożenie przez jej odwrotność:

$$\frac{3}{7}:3=\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{3}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}$$

Odpowiedź: C. Dzieląc ułamek przez liczbę całkowitą, mianownik rośnie.

Pytamy, ile razy $\frac18$ mieści się w $\frac78$ — to dzielenie:

$$\frac{7}{8}:\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\cdot\frac{8}{1}=\frac{56}{8}=7$$

Odpowiedź: $7$ kawałków.

Sprawdzenie: $7\cdot\frac18=\frac78$. ✔

Wspólny mianownik to $30$:

$$\frac{2}{3}=\frac{20}{30},\qquad \frac{3}{5}=\frac{18}{30},\qquad \frac{7}{10}=\frac{21}{30}$$

Porządkujemy liczniki: $18<20<21$.

Odpowiedź: $\frac{3}{5}<\frac{2}{3}<\frac{7}{10}$.

Pole:

$$P=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\ \text{m}^2$$

Obwód:

$$Ob=2\left(\frac{3}{4}+\frac{2}{3}\right)=2\left(\frac{9}{12}+\frac{8}{12}\right)=2\cdot\frac{17}{12}=\frac{34}{12}=\frac{17}{6}=2\frac{5}{6}\ \text{m}$$

Odpowiedź: pole $\frac12\ \text{m}^2$, obwód $2\frac56$ m.

Krok 1 — jaką część stanowią chłopcy:

$$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$$

Krok 2 — całość. Skoro $\frac35$ klasy to $18$ osób, to $\frac15$ to:

$$18:3=6$$

Zatem cała klasa ($\frac55$) liczy $5\cdot6=30$ osób.

Odpowiedź: $30$ uczniów.

Sprawdzenie: dziewczynek $\frac25\cdot30=12$, chłopców $30-12=18$. ✔