Liczba dzieli się przez $3$, gdy suma jej cyfr dzieli się przez $3$:

$$1+7+1=9,\qquad 9:3=3 \ ✔$$

Pozostałe: $1+2+4=7$, $2+0+5=7$, $3+0+8=11$ — żadna nie dzieli się przez $3$.

Odpowiedź: C. $171$.

Szukamy liczb, przez które $18$ dzieli się bez reszty. Idziemy parami:

$$1\cdot18,\qquad 2\cdot9,\qquad 3\cdot6$$

$$1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18$$

Wskazówka: szukanie parami gwarantuje, że nic nie pominiemy — kończymy, gdy czynniki zaczną się mijać.

Odpowiedź: $1$, $2$, $3$, $6$, $9$, $18$.

Dzielimy kolejno przez najmniejsze liczby pierwsze:

$$60:2=30,\quad 30:2=15,\quad 15:3=5,\quad 5:5=1$$

$$60=2^2\cdot3\cdot5$$

Odpowiedź: $60=2^2\cdot3\cdot5$.

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i samą siebie.

$$21=3\cdot7,\qquad 27=3\cdot9$$

Liczba $23$ nie dzieli się przez $2$, $3$ ani $5$ — jest pierwsza.

Uwaga: $1$ nie jest liczbą pierwszą — ma tylko jeden dzielnik.

Odpowiedź: B. $23$.

Mnożymy $7$ przez kolejne liczby naturalne:

$$7,\ 14,\ 21,\ 28,\ 35$$

Odpowiedź: $7$, $14$, $21$, $28$, $35$.

Liczba dzieli się przez $2$ i przez $5$ dokładnie wtedy, gdy dzieli się przez $10$, czyli kończy się zerem.

$$180 \ ✔$$

Pozostałe: $125$ i $55$ dzielą się tylko przez $5$, a $34$ tylko przez $2$.

Odpowiedź: D. $180$.

Krok 1 — rozkłady:

$$24=2^3\cdot3,\qquad 36=2^2\cdot3^2$$

Krok 2 — wspólne czynniki w najniższych potęgach:

$$\mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$$

Sprawdzenie: $24:12=2$ ✔ oraz $36:12=3$ ✔

Odpowiedź: $12$.

Krok 1 — rozkłady:

$$6=2\cdot3,\qquad 8=2^3$$

Krok 2 — wszystkie czynniki w najwyższych potęgach:

$$\mathrm{NWW}=2^3\cdot3=24$$

Sprawdzenie: $24:6=4$ ✔ oraz $24:8=3$ ✔

Odpowiedź: $24$.

Cecha podzielności przez $9$: suma cyfr musi dzielić się przez $9$.

Przykład: $918$ — suma cyfr $9+1+8=18$, a $18:9=2$, więc $918$ dzieli się przez $9$. Zauważ, że liczba nie kończy się dziewiątką.

Odpowiedź: A. suma jej cyfr dzieli się przez $9$.

Szukamy parami:

$$1\cdot36,\quad 2\cdot18,\quad 3\cdot12,\quad 4\cdot9,\quad 6\cdot6$$

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 12,\ 18,\ 36$$

Dzielników jest dziewięć. Liczba jest nieparzysta, bo $36$ jest kwadratem — szóstka pojawia się w parze sama ze sobą.

Odpowiedź: $9$ dzielników.

$$15=3\cdot5,\qquad 28=2^2\cdot7$$

Rozkłady nie mają wspólnego czynnika, więc:

$$\mathrm{NWD}=1$$

Takie liczby nazywamy względnie pierwszymi. Wartość $420$ to ich NWW.

Odpowiedź: C. $1$.

Krok 1 — rozpoznanie. Szukamy najbliższej wspólnej wielokrotności, czyli NWW.

$$12=2^2\cdot3,\qquad 18=2\cdot3^2$$

$$\mathrm{NWW}=2^2\cdot3^2=36\ \text{minut}$$

Krok 2 — godzina:

$$8{:}00+36\ \text{min}=8{:}36$$

Sprawdzenie: $36:12=3$ kursy ✔ oraz $36:18=2$ kursy ✔

Odpowiedź: o $8{:}36$.

Krok 1 — rozkłady:

$$84=2^2\cdot3\cdot7$$

$$126=2\cdot3^2\cdot7$$

Krok 2 — wspólne czynniki w najniższych potęgach:

$$\mathrm{NWD}=2\cdot3\cdot7=42$$

Sprawdzenie: $84:42=2$ ✔ oraz $126:42=3$ ✔

Odpowiedź: NWD $=42$.

Wypisujemy:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19$$

To osiem liczb.

Uwaga: $1$ nie jest pierwsza, a $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.

Odpowiedź: B. $8$.

Krok 1 — suma znanych cyfr:

$$2+3=5$$

Krok 2 — warunek. Suma wszystkich cyfr ma dzielić się przez $9$. Najbliższa taka liczba to $9$:

$$9-5=4$$

Krok 3 — sprawdzenie innych możliwości. Kolejna suma to $18$, ale wymagałaby cyfry $13$ — niemożliwe.

Sprawdzenie: $234:9=26$ ✔

Odpowiedź: cyfra $4$, liczba $234$.

Liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki.

$$51=3\cdot17$$

Suma cyfr $5+1=6$ dzieli się przez $3$ — to najszybszy sposób, by to zauważyć.

Pozostałe ($29$, $31$, $37$) są pierwsze.

Odpowiedź: D. $51$.

Krok 1 — rozpoznanie. Szukamy największej liczby dzielącej oba zestawy, czyli NWD.

$$48=2^4\cdot3,\qquad 60=2^2\cdot3\cdot5$$

$$\mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$$

Krok 2 — zawartość paczki:

$$48:12=4\ \text{cukierki},\qquad 60:12=5\ \text{ciastek}$$

Odpowiedź: $12$ paczek, w każdej $4$ cukierki i $5$ ciastek.

Krok 1 — rozkłady:

$$30=2\cdot3\cdot5,\qquad 45=3^2\cdot5$$

Krok 2 — NWD (wspólne, najniższe potęgi):

$$\mathrm{NWD}=3\cdot5=15$$

Krok 3 — NWW (wszystkie, najwyższe potęgi):

$$\mathrm{NWW}=2\cdot3^2\cdot5=90$$

Krok 4 — sprawdzenie własności:

$$15\cdot90=1350,\qquad 30\cdot45=1350 \ ✔$$

Ta zależność zachodzi zawsze: $\mathrm{NWD}\cdot\mathrm{NWW}=a\cdot b$. Pozwala policzyć NWW, gdy znamy już NWD.

Odpowiedź: NWD $=15$, NWW $=90$; własność jest spełniona.

Krok 1 — pierwsze wspólne miejsce to NWW:

$$6=2\cdot3,\qquad 8=2^3$$

$$\mathrm{NWW}=2^3\cdot3=24\ \text{metry}$$

Krok 2 — kolejne miejsca co $24$ m:

$$24,\ 48,\ 72,\ 96$$

Kolejne byłoby $120$ — poza odcinkiem.

Uwaga: punktu startowego ($0$ m) nie liczymy, bo pytanie dotyczy miejsc po rozpoczęciu.

Odpowiedź: pierwszy raz po $24$ m; na odcinku $100$ m będą $4$ takie miejsca.

Krok 1 — przepisanie warunków. W obu przypadkach do pełnego podziału brakuje jednego:

$$n+1 \ \text{dzieli się przez } 4 \quad\text{oraz}\quad n+1 \ \text{dzieli się przez } 6$$

Krok 2 — NWW:

$$\mathrm{NWW}(4,\,6)=12$$

Krok 3 — szukana liczba:

$$n+1=12 \quad\Rightarrow\quad n=11$$

Sprawdzenie: $11:4=2$ reszty $3$ ✔ oraz $11:6=1$ reszty $5$ ✔

Kolejne rozwiązania to $23$, $35$, $47$ — co $12$.

Odpowiedź: $n=11$.