Mnożymy jak liczby całkowite, a potem stawiamy przecinek:

$$25\cdot4=100 \quad\Rightarrow\quad 2{,}5\cdot4=10$$

Zasada: w wyniku jest tyle cyfr po przecinku, ile łącznie w obu czynnikach — tutaj jedna, ale końcowe zero się skraca.

Odpowiedź: B. $10$.

Krok 1 — mnożymy bez przecinków:

$$3\cdot4=12$$

Krok 2 — liczymy cyfry po przecinku. W obu czynnikach jest po jednej, więc w wyniku muszą być dwie:

$$0{,}12$$

Kontrola sensu: mnożymy dwie liczby mniejsze od $1$, więc wynik musi być jeszcze mniejszy ✔

Odpowiedź: $0{,}12$.

Krok 1 — pozbywamy się przecinka z dzielnika. Mnożymy obie liczby przez $10$:

$$7{,}2:0{,}8=72:8$$

Krok 2 — dzielimy:

$$72:8=9$$

Dlaczego wolno tak zrobić: pomnożenie dzielnej i dzielnika przez tę samą liczbę nie zmienia ilorazu.

Odpowiedź: $9$.

Mnożenie przez $100$ przesuwa przecinek o dwa miejsca w prawo:

$$3{,}45\cdot100=345$$

Reguła: tyle miejsc, ile zer w mnożniku.

Odpowiedź: C. $345$.

Dzielimy licznik przez mianownik:

$$3:8=0{,}375$$

Sprawdzenie: $0{,}375\cdot8=3$ ✔

Odpowiedź: $0{,}375$.

Dzielenie przez $10$ przesuwa przecinek o jedno miejsce w lewo:

$$46{,}8:10=4{,}68$$

Odpowiedź: A. $4{,}68$.

Krok 1 — mnożymy bez przecinków:

$$125\cdot8=1000$$

Krok 2 — liczba miejsc po przecinku. Dwa w pierwszym czynniku plus jedno w drugim daje trzy:

$$1{,}000=1$$

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — mnożymy obie liczby przez $100$:

$$9:0{,}25=900:25=36$$

Dlaczego wynik rośnie. Pytamy, ile ćwiartek mieści się w $9$. Skoro $0{,}25$ jest mniejsze od $1$, zmieści się ich więcej niż $9$.

Reguła: dzielenie przez liczbę mniejszą od jedynki zawsze powiększa wynik.

Odpowiedź: $36$.

$$1:3=0{,}3333\ldots=0{,}(3)$$

To ułamek okresowy — trójka powtarza się w nieskończoność. Zapisujemy ją w nawiasie.

Uwaga: $0{,}3$ to dokładnie $\frac{3}{10}$, czyli inna liczba niż $\frac13$.

Odpowiedź: D. $0{,}(3)$.

$$2{,}5\cdot4{,}80=12\ \text{zł}$$

Rachunek pomocniczy: $2$ kg to $9{,}60$ zł, a pół kilograma to $2{,}40$ zł. Razem $12$ zł ✔

Odpowiedź: $12$ zł.

$$5\cdot5=25$$

Dwie cyfry po przecinku łącznie, więc:

$$0{,}25$$

Obrazowo: połowa z połowy to ćwiartka.

Odpowiedź: B. $0{,}25$.

Krok 1 — mnożymy obie liczby przez $10$:

$$12{,}6:0{,}3=126:3$$

Krok 2 — dzielimy:

$$126:3=42$$

Sprawdzenie: $42\cdot0{,}3=12{,}6$ ✔

Odpowiedź: $42$.

Sposób z rozszerzaniem — doprowadzamy mianownik do potęgi dziesiątki:

$$\frac14=\frac{25}{100}=0{,}25$$

$$\frac25=\frac{4}{10}=0{,}4$$

$$\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=0{,}35$$

Odpowiedź: $0{,}25$; $0{,}4$; $0{,}35$.

Przesuwamy przecinek o trzy miejsca w prawo:

$$0{,}06\cdot1000=60$$

Krok po kroku: $0{,}06\to0{,}6\to6\to60$.

Odpowiedź: C. $60$.

Krok 1 — najpierw mnożenie:

$$0{,}5\cdot4=2$$

Krok 2 — dodawanie:

$$2+2=4$$

Pułapka: liczenie od lewej dałoby $2{,}5\cdot4=10$.

Odpowiedź: $4$.

Mnożymy obie liczby przez $2$:

$$8:0{,}5=16:1=16$$

Sens: pytamy, ile połówek mieści się w ośmiu całościach — jest ich $16$.

Odpowiedź: A. $16$.

Krok 1 — koszt paliwa:

$$38{,}5\cdot6{,}40=246{,}40\ \text{zł}$$

Rachunek pomocniczy: $38\cdot6{,}40=243{,}20$, a $0{,}5\cdot6{,}40=3{,}20$. Razem $246{,}40$ zł ✔

Krok 2 — reszta:

$$300-246{,}40=53{,}60\ \text{zł}$$

Odpowiedź: zapłacił $246{,}40$ zł, reszty $53{,}60$ zł.

Krok 1 — dzielenie:

$$7{,}5:0{,}6=75:6=12{,}5$$

Krok 2 — interpretacja. Wynik nie jest całkowity, więc powstanie $12$ pełnych kawałków.

Krok 3 — reszta:

$$12\cdot0{,}6=7{,}2\ \text{m},\qquad 7{,}5-7{,}2=0{,}3\ \text{m}$$

Uwaga: $0{,}5$ w wyniku dzielenia oznacza połowę kawałka, czyli $0{,}3$ m — a nie $0{,}5$ m.

Odpowiedź: $12$ pełnych kawałków, zostanie $0{,}3$ m.

Krok 1 — pole:

$$P=12{,}5\cdot8{,}4=105\ \text{m}^2$$

Rachunek pomocniczy: $125\cdot84=10\,500$, a łącznie dwie cyfry po przecinku dają $105{,}00$ ✔

Krok 2 — obwód:

$$O=2(12{,}5+8{,}4)=2\cdot20{,}9=41{,}8\ \text{m}$$

Odpowiedź: pole $105$ m$^2$, obwód $41{,}8$ m.

Krok 1 — szacunek. $0{,}35$ kg to nieco ponad jedna trzecia kilograma, a $32{,}50:3\approx11$ zł. Spodziewamy się więc około $11$ zł.

Krok 2 — rachunek dokładny:

$$0{,}35\cdot32{,}50=11{,}375\ \text{zł}$$

Krok 3 — zaokrąglenie do groszy. Trzecia cyfra po przecinku to $5$, więc zaokrąglamy w górę:

$$11{,}38\ \text{zł}$$

Porównanie z szacunkiem: $11{,}38$ jest bliskie przewidywanym $11$ zł ✔ Szacunek pozwolił od razu ocenić, że wynik rzędu $110$ zł czy $1{,}10$ zł byłby błędny.

Odpowiedź: $11{,}38$ zł.