Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość:

$$V=P_p\cdot H$$

Uwaga: wzór $\frac13 P_p\cdot H$ dotyczy ostrosłupa, nie graniastosłupa. Ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.

Odpowiedź: B. $V=P_p\cdot H$.

$$V=P_p\cdot H=12\cdot5=60\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $60$ cm³.

Sześcian to graniastosłup o kwadratowej podstawie, gdzie wszystkie krawędzie są równe:

$$V=a^3=4^3=64\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $64$ cm³.

Sześcian ma sześć jednakowych ścian kwadratowych o polu $a^2$ każda:

$$P=6a^2$$

Uwaga: $a^3$ to objętość sześcianu, a nie pole.

Odpowiedź: C. $6a^2$.

Objętość prostopadłościanu to iloczyn trzech wymiarów:

$$V=3\cdot4\cdot5=60\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $60$ cm³.

„Prawidłowy” oznacza, że w podstawie leży wielokąt foremny. Foremny czworokąt to kwadrat.

Analogicznie: graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny, a sześciokątny — sześciokąt foremny.

Odpowiedź: A. kwadrat.

Krok 1 — prostopadłościan ma trzy pary jednakowych ścian. Pola par:

$$2\cdot3=6,\qquad 2\cdot4=8,\qquad 3\cdot4=12$$

Krok 2 — każda para występuje dwa razy:

$$P=2\cdot(6+8+12)=2\cdot26=52\ \text{cm}^2$$

Wzór ogólny: $P=2(ab+bc+ac)$.

Odpowiedź: $52$ cm².

Krok 1 — pole podstawy. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $6$:

$$P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3$$

Krok 2 — objętość:

$$V=P_p\cdot H=9\sqrt3\cdot10=90\sqrt3\approx155{,}9$$

Odpowiedź: $V=90\sqrt3$.

Krawędź odzyskujemy pierwiastkiem sześciennym z objętości:

$$a=\sqrt[3]{27}=3\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $3^3=27$ ✔

Odpowiedź: D. $3$ cm.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=4\cdot5=20\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — z wzoru $V=P_p\cdot H$ wyznaczamy $H$:

$$H=\frac{V}{P_p}=\frac{120}{20}=6\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $20\cdot6=120$ ✔

Odpowiedź: $H=6$ cm.

Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy. Sześciokąt ma $6$ wierzchołków, więc:

$$2\cdot6=12$$

Dla porównania: krawędzi ma $18$ (po $6$ w każdej podstawie i $6$ bocznych), a ścian $8$ (dwie podstawy i sześć ścian bocznych).

Odpowiedź: B. $12$.

Korzystamy ze wzoru na przekątną prostopadłościanu:

$$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

$$d=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$$

Skąd ten wzór: to dwukrotne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa — najpierw dla przekątnej podstawy, potem dla przekątnej przestrzennej.

Odpowiedź: $d=13$.

Krok 1 — krawędź z pola. Pole to $6a^2$:

$$6a^2=96 \quad\Rightarrow\quad a^2=16 \quad\Rightarrow\quad a=4\ \text{cm}$$

Krok 2 — objętość:

$$V=a^3=4^3=64\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $64$ cm³.

Ściany boczne graniastosłupa prostego to prostokąty. Po „rozwinięciu” tworzą jeden duży prostokąt o wysokości $H$ i szerokości równej obwodowi podstawy:

$$P_b=O_p\cdot H$$

Pole całkowite: $P=P_b+2P_p$ — pole boczne plus dwie podstawy.

Odpowiedź: A. obwód podstawy razy wysokość.

Krok 1 — objętość w cm³:

$$V=50\cdot30\cdot40=60\,000\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — zamiana na litry. Jeden litr to $1000$ cm³:

$$60\,000:1000=60\ \text{litrów}$$

Warto zapamiętać: $1$ dm³ $=1$ litr $=1000$ cm³.

Odpowiedź: $60$ litrów.

Objętość zależy od trzeciej potęgi krawędzi. Dla krawędzi $2a$:

$$V=(2a)^3=8a^3$$

To osiem razy więcej niż $a^3$.

Zależność wymiarów: długość rośnie $2$ razy, pole $2^2=4$ razy, objętość $2^3=8$ razy.

Odpowiedź: C. ośmiokrotnie.

Krok 1 — pole podstawy (kwadrat):

$$P_p=6^2=36$$

Krok 2 — objętość:

$$V=P_p\cdot H=36\cdot8=288$$

Krok 3 — pole boczne. Obwód podstawy to $4\cdot6=24$:

$$P_b=O_p\cdot H=24\cdot8=192$$

Krok 4 — pole całkowite:

$$P=P_b+2P_p=192+2\cdot36=192+72=264$$

Odpowiedź: $V=288$, $P=264$.

Krok 1 — krawędź z przekątnej ściany. Ściana to kwadrat, a jego przekątna to $a\sqrt2$:

$$a\sqrt2=5\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad a=5$$

Krok 2 — objętość:

$$V=a^3=5^3=125$$

Uwaga na rodzaj przekątnej. Chodziło o przekątną ściany ($a\sqrt2$), a nie przekątną przestrzenną sześcianu, która wynosi $a\sqrt3$. To dwie różne wielkości.

Odpowiedź: $V=125$.

Krok 1 — krawędź z przekątnej przestrzennej. Dla sześcianu przekątna wynosi $a\sqrt3$:

$$a\sqrt3=6\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad a=6$$

Krok 2 — pole powierzchni:

$$P=6a^2=6\cdot36=216$$

Skąd wzór $a\sqrt3$: przekątna przestrzenna prostopadłościanu to $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$, a dla sześcianu wszystkie krawędzie są równe, więc $\sqrt{3a^2}=a\sqrt3$.

Odpowiedź: $P=216$.