Od współrzędnych końca odejmujemy współrzędne początku:

$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]=[7-2,\ 8-3]=[5,\,5]$$

Uwaga na kolejność: odwrotne odejmowanie dałoby wektor przeciwny $\vec{BA}=[-5,\,-5]$.

Odpowiedź: C. $[5,\,5]$.

Długość wektora liczymy jak przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:

$$|\vec{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Odpowiedź: $|\vec{u}|=10$.

Działania wykonujemy na odpowiadających sobie współrzędnych.

Suma:

$$\vec{u}+\vec{v}=[3+1,\ -2+5]=[4,\,3]$$

Różnica:

$$\vec{u}-\vec{v}=[3-1,\ -2-5]=[2,\,-7]$$

Odpowiedź: $\vec{u}+\vec{v}=[4,\,3]$, $\vec{u}-\vec{v}=[2,\,-7]$.

Iloczyn skalarny to suma iloczynów odpowiadających współrzędnych:

$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y=2\cdot4+3\cdot(-1)=8-3=5$$

Kluczowe: wynikiem jest liczba, a nie wektor — odpowiedź B mnoży współrzędne osobno i jest błędna.

Odpowiedź: A. $5$.

Mnożąc wektor przez liczbę, mnożymy obie współrzędne.

$$2\vec{u}=[8,\,-6]$$

$$-\vec{u}=[-4,\,3]$$

Interpretacja: wektor $2\vec{u}$ ma ten sam kierunek i zwrot, ale jest dwa razy dłuższy. Wektor $-\vec{u}$ ma tę samą długość, lecz przeciwny zwrot.

Odpowiedź: $2\vec{u}=[8,\,-6]$, $-\vec{u}=[-4,\,3]$.

Ze wzoru $\vec{u}\circ\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$ widać, że dla kąta $90^\circ$ mamy $\cos 90^\circ=0$, więc cały iloczyn się zeruje.

$$\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$$

Uwaga: odpowiedź D opisuje wektory równoległe, czyli sytuację przeciwną.

Odpowiedź: B.

Liczymy iloczyn skalarny:

$$\vec{u}\circ\vec{v}=3\cdot(-4)+4\cdot3=-12+12=0$$

Iloczyn wynosi zero, więc wektory są prostopadłe.

Warto zauważyć: wektor prostopadły do $[a,\,b]$ otrzymujemy, zamieniając współrzędne miejscami i zmieniając jeden znak: $[-b,\,a]$.

Odpowiedź: tak, wektory są prostopadłe.

Przesunięcie punktu o wektor polega na dodaniu współrzędnych:

$$B=A+\vec{AB}=(1+5,\ 4+(-2))=(6,\,2)$$

Sprawdzenie: $\vec{AB}=[6-1,\ 2-4]=[5,\,-2]$ ✔

Odpowiedź: $B=(6,\,2)$.

Wektory są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego:

$$[4,\,6]=2\cdot[2,\,3]$$

Sprawdzenie warunkiem: dla wektorów równoległych zachodzi $u_x v_y-u_y v_x=0$. Tutaj $2\cdot6-3\cdot4=12-12=0$ ✔

Uwaga: wektory B i C są prostopadłe do $\vec{u}$, a nie równoległe.

Odpowiedź: D. $[4,\,6]$.

Krok 1 — iloczyn skalarny:

$$\vec{u}\circ\vec{v}=1\cdot1+0\cdot1=1$$

Krok 2 — długości wektorów:

$$|\vec{u}|=1,\qquad |\vec{v}|=\sqrt{1+1}=\sqrt2$$

Krok 3 — cosinus kąta:

$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$

Krok 4 — odczytujemy kąt:

$$\alpha=45^\circ$$

Odpowiedź: kąt wynosi $45^\circ$.

Symetria względem osi OY zmienia znak pierwszej współrzędnej:

$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,y)$$

$$P=(5,\,-3) \ \longrightarrow \ (-5,\,-3)$$

Dla porównania: symetria względem OX dałaby $(5,\,3)$, a względem początku układu $(-5,\,3)$.

Odpowiedź: A. $(-5,\,-3)$.

W symetrii środkowej o środku $S=(a,\,b)$ obraz punktu ma współrzędne:

$$P^{\prime}=(2a-x,\ 2b-y)$$

Podstawiamy:

$$P^{\prime}=(2\cdot4-6,\ 2\cdot1-5)=(2,\,-3)$$

Sprawdzenie: $S$ powinien być środkiem odcinka $PP^{\prime}$. Rzeczywiście: $\left(\frac{6+2}{2},\ \frac{5+(-3)}{2}\right)=(4,\,1)$ ✔

Odpowiedź: $P^{\prime}=(2,\,-3)$.

Punkty leżą na jednej prostej, gdy wektory je łączące są równoległe.

Krok 1 — wyznaczamy wektory:

$$\vec{AB}=[2,\,3],\qquad \vec{AC}=[6,\,9]$$

Krok 2 — sprawdzamy warunek równoległości:

$$u_x v_y-u_y v_x=2\cdot9-3\cdot6=18-18=0$$

Warunek jest spełniony, a dodatkowo widać wprost, że $\vec{AC}=3\vec{AB}$.

Odpowiedź: tak, punkty są współliniowe.

Ze wzoru $\vec{u}\circ\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$ długości są zawsze dodatnie, więc o znaku decyduje $\cos\alpha$.

Cosinus jest ujemny dla kątów z przedziału $(90^\circ,\,180^\circ)$, czyli dla kątów rozwartych.

Zestawienie: iloczyn dodatni — kąt ostry, zerowy — prosty, ujemny — rozwarty.

Odpowiedź: C.

Warunek prostopadłości to zerowanie iloczynu skalarnego:

$$3\cdot2+m\cdot(-6)=0$$

Rozwiązujemy:

$$6-6m=0 \quad\Rightarrow\quad m=1$$

Sprawdzenie: dla $\vec{u}=[3,\,1]$ mamy $3\cdot2+1\cdot(-6)=0$ ✔

Odpowiedź: $m=1$.

Krok 1 — środek odcinka:

$$S=\left(\frac{-2+8}{2},\ \frac{7+(-1)}{2}\right)=(3,\,3)$$

Krok 2 — długość odcinka:

$$|AB|=\sqrt{(8-(-2))^2+(-1-7)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$$

Przybliżenie: $2\sqrt{41}\approx12{,}8$.

Odpowiedź: $S=(3,\,3)$, $|AB|=2\sqrt{41}\approx12{,}8$.

Krok 1 — wektory wychodzące z wierzchołka $B$ (tam podejrzewamy kąt prosty):

$$\vec{BA}=[0-4,\ 0-0]=[-4,\,0]$$

$$\vec{BC}=[4-4,\ 3-0]=[0,\,3]$$

Krok 2 — iloczyn skalarny:

$$\vec{BA}\circ\vec{BC}=(-4)\cdot0+0\cdot3=0$$

Iloczyn wynosi zero, więc kąt przy wierzchołku $B$ jest prosty.

Zaleta metody wektorowej: od razu wskazuje, przy którym wierzchołku leży kąt prosty — twierdzenie Pitagorasa mówi tylko, że taki kąt istnieje.

Odpowiedź: tak, trójkąt jest prostokątny z kątem prostym przy $B$.

Kluczowa własność: w równoległoboku $ABCD$ boki $AB$ i $DC$ są równoległe i równej długości, więc $\vec{AB}=\vec{DC}$.

Krok 1 — wyznaczamy $\vec{AB}$:

$$\vec{AB}=[5-1,\ 2-1]=[4,\,1]$$

Krok 2 — z warunku $\vec{AD}=\vec{BC}$ wyznaczamy $D$ jako $A$ przesunięte o wektor $\vec{BC}$:

$$\vec{BC}=[6-5,\ 6-2]=[1,\,4]$$

$$D=A+\vec{BC}=(1+1,\ 1+4)=(2,\,5)$$

Sprawdzenie: $\vec{DC}=[6-2,\ 6-5]=[4,\,1]=\vec{AB}$ ✔

Odpowiedź: $D=(2,\,5)$.

Krok 1 — iloczyn skalarny:

$$\vec{u}\circ\vec{v}=1\cdot1+\sqrt3\cdot0=1$$

Krok 2 — długości:

$$|\vec{u}|=\sqrt{1+3}=2,\qquad |\vec{v}|=1$$

Krok 3 — cosinus kąta:

$$\cos\alpha=\frac{1}{2\cdot1}=\frac12$$

Krok 4 — kąt:

$$\alpha=60^\circ$$

Kontrola: wektor $\vec{v}$ leży wzdłuż osi OX, a $\vec{u}$ ma $\tg\alpha=\frac{\sqrt3}{1}=\sqrt3$, co odpowiada $60^\circ$ ✔

Odpowiedź: $60^\circ$.

Skoro wierzchołek $A$ leży w początku układu, wektory boków to wprost współrzędne punktów $B$ i $C$.

Krok 1 — podstawiamy do wzoru:

$$P=\frac12\left|5\cdot4-2\cdot1\right|$$

Krok 2 — liczymy:

$$P=\frac12\left|20-2\right|=\frac{18}{2}=9$$

Dlaczego wartość bezwzględna: wyrażenie w środku może wyjść ujemne w zależności od kolejności wierzchołków, a pole zawsze jest dodatnie.

Odpowiedź: $P=9$.