$$\sin\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}}$$

Odpowiedź: A.

Wartość z tablicy kątów szczególnych:

$$\sin30^\circ=\frac12$$

Odpowiedź: B. $\frac12$.

Sinus — bok naprzeciw do przeciwprostokątnej:

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Cosinus — bok przy kącie do przeciwprostokątnej:

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Tangens to sinus przez cosinus (lub bok naprzeciw przez bok przy):

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha=\frac34$.

Dla $45^\circ$ przyprostokątne są równe, więc:

$$\operatorname{tg}45^\circ=1$$

Odpowiedź: D. $1$.

Sposób 1 — jedynka trygonometryczna. Dla każdego kąta:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Więc wynik od razu wynosi $1$.

Sposób 2 — sprawdzenie liczbowe:

$$\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\tfrac12\right)^2=\tfrac34+\tfrac14=1$$

Odpowiedź: $1$.

$$\cos60^\circ=\frac12$$

Uwaga: $\cos60^\circ=\sin30^\circ$ — kąty dopełniające się do $90^\circ$.

Odpowiedź: C. $\frac12$.

Krok 1 — definicja sinusa:

$$\sin\alpha=\frac{a}{10}=0{,}6$$

Krok 2 — wyznaczamy $a$:

$$a=0{,}6\cdot10=6$$

Odpowiedź: $6$.

Krok 1 — jedynka trygonometryczna:

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$$

Krok 2 — pierwiastkujemy (kąt ostry, więc $\sin\alpha>0$):

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$.

$$\sin90^\circ=1$$

Odpowiedź: A. $1$.

Krok 1 — podstawiamy wartości:

$$\frac12\cdot\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac14+\frac34=1$$

Ciekawostka. To wzór na $\sin(30^\circ+60^\circ)=\sin90^\circ=1$ ✔

Odpowiedź: $1$.

Jedynka trygonometryczna: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — sinus kąta:

$$\sin30^\circ=\frac{a}{12}$$

Krok 2 — podstawiamy $\sin30^\circ=\frac12$:

$$\frac12=\frac{a}{12} \quad\Rightarrow\quad a=6$$

Odpowiedź: $6$.

$\operatorname{tg}45^\circ=1$, więc $\alpha=45^\circ$.

Odpowiedź: C. $45^\circ$.

Krok 1 — model. Drabina to przeciwprostokątna, wysokość na ścianie to bok naprzeciw kąta $60^\circ$.

Krok 2 — sinus:

$$\sin60^\circ=\frac{h}{5}$$

Krok 3 — obliczamy ($\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$):

$$h=5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{5\sqrt3}{2}\approx4{,}33\ \text{m}$$

Odpowiedź: $\frac{5\sqrt3}{2}\approx4{,}33$ m.

$$\cos90^\circ=0$$

Odpowiedź: D. $0$.

Krok 1 — model trójkąta. $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przy}}=\frac34$, więc bierzemy przyprostokątne $3$ i $4$.

Krok 2 — przeciwprostokątna (Pitagoras):

$$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

Krok 3 — funkcje:

$$\sin\alpha=\frac35,\qquad \cos\alpha=\frac45$$

Sprawdzenie: $\frac{\sin}{\cos}=\frac{3/5}{4/5}=\frac34=\operatorname{tg}\alpha$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Krok 1 — model. Kąt wzniesienia $45^\circ$, odległość pozioma $20$ m to bok przy kącie, wysokość masztu to bok naprzeciw.

Krok 2 — tangens:

$$\operatorname{tg}45^\circ=\frac{h}{20}$$

Krok 3 — obliczamy ($\operatorname{tg}45^\circ=1$):

$$1=\frac{h}{20} \quad\Rightarrow\quad h=20\ \text{m}$$

Wniosek. Przy kącie $45^\circ$ wysokość równa się odległości poziomej.

Odpowiedź: $20$ m.