W postaci kierunkowej $y=ax+b$ współczynnik kierunkowy to liczba przy $x$:

$$a=3$$

Liczba $-2$ to wyraz wolny $b$ (miejsce przecięcia z osią OY).

Odpowiedź: B. $3$.

Krok 1 — zapisujemy postać kierunkową z $a=2$:

$$y=2x+b$$

Krok 2 — podstawiamy punkt $P$:

$$5=2\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=3$$

$$y=2x+3$$

Sprawdzenie: $2\cdot1+3=5$ ✔

Odpowiedź: $y=2x+3$.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej $Ax+By+C=0$:

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Podstawiamy $A=3$, $B=4$, $C=-19$, $P=(1,\,1)$:

$$d=\frac{|3\cdot1+4\cdot1-19|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-12|}{5}=\frac{12}{5}=2{,}4$$

Uwaga: prosta musi być w postaci ogólnej (z zerem po prawej) — inaczej wzór da zły wynik.

Odpowiedź: $d=2{,}4$.

Warunek prostopadłości: $a_1\cdot a_2=-1$. Dla $a_1=2$:

$$2\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-\frac12$$

Reguła: współczynnik prostej prostopadłej to odwrotność ze zmienionym znakiem.

Odpowiedź: A. $-\frac12$.

Metoda podstawy i wysokości. Bok $AB$ jest poziomy, więc łatwo go zmierzyć:

$$a=|AB|=5-1=4$$

Wysokość to pionowa odległość $C$ od prostej $y=1$:

$$h=6-1=5$$

Pole:

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{4\cdot5}{2}=10$$

Odpowiedź: $P=10$.

Równanie okręgu $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ ma środek $S=(a,\,b)$.

Uwaga na znaki: $(x-3)$ daje $a=3$; $(y+1)=(y-(-1))$ daje $b=-1$.

Promień: $r^2=16$, więc $r=4$.

Odpowiedź: C. $S=(3,\,-1)$, $r=4$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{7-1}{4-2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny z podstawienia punktu $A$:

$$1=3\cdot2+b \quad\Rightarrow\quad b=-5$$

$$y=3x-5$$

Sprawdzenie dla $B$: $3\cdot4-5=7$ ✔

Odpowiedź: $y=3x-5$.

Podstawiamy do wzoru $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$:

$$(x-2)^2+(y-3)^2=25$$

Uwaga: po prawej stronie stoi kwadrat promienia, czyli $25$, a nie $5$.

Odpowiedź: $(x-2)^2+(y-3)^2=25$.

Oba współczynniki kierunkowe są równe ($a=2$), więc proste są równoległe. Różne wyrazy wolne ($3$ i $-4$) oznaczają, że się nie pokrywają.

Odpowiedź: D. równoległe i różne.

Przecięcie z osią OY: tam $x=0$, więc $y=0+1=1$ — punkt $(0,\,1)$.

Przecięcie z osią OX: tam $y=0$, więc:

$$0=x+1 \quad\Rightarrow\quad x=-1$$

punkt $(-1,\,0)$.

Zapamiętaj: na osi OY zeruje się $x$, na osi OX zeruje się $y$.

Odpowiedź: z OY w $(0,\,1)$, z OX w $(-1,\,0)$.

Podstawiamy współrzędne do lewej strony równania:

$$1^2+2^2=1+4=5$$

Wynik równy prawej stronie, więc punkt leży na okręgu.

Reguła: wynik mniejszy niż $r^2$ oznaczałby wnętrze, większy — zewnętrze.

Odpowiedź: B. tak.

Krok 1 — współczynnik prostej prostopadłej. Dla $a_1=\frac12$:

$$\frac12\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-2$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $P=(0,\,4)$ leży na osi OY, więc $b=4$.

$$y=-2x+4$$

Odpowiedź: $y=-2x+4$.

Ze wzoru na odległość punktu od prostej, dla $A=1$, $B=1$, $C=-6$, $P=(0,\,0)$:

$$d=\frac{|1\cdot0+1\cdot0-6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{6}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$$

Przybliżenie: $3\sqrt2\approx4{,}24$.

Odpowiedź: $d=3\sqrt2\approx4{,}24$.

Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców:

$$S=\left(\frac{-2+6}{2},\ \frac{4+(-2)}{2}\right)=(2,\,1)$$

Odpowiedź: A. $(2,\,1)$.

Krok 1 — długości boków. Trójkąt jest prostokątny (przyprostokątne leżą na osiach):

$$|AB|=6,\qquad |AC|=8,\qquad |BC|=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — pole:

$$P=\frac{6\cdot8}{2}=24$$

Krok 3 — obwód:

$$O=6+8+10=24$$

Krok 4 — promień okręgu wpisanego ze wzoru $r=\frac{P}{p}$, gdzie $p=\frac{O}{2}=12$:

$$r=\frac{24}{12}=2$$

Odpowiedź: $P=24$, $O=24$, $r=2$.

Na osi OX zeruje się $y$:

$$0=-x+5 \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Punkt przecięcia to $(5,\,0)$.

Uwaga: odpowiedź A ($0,\,5$) to punkt przecięcia z osią OY, nie OX.

Odpowiedź: C. $(5,\,0)$.

Prosta jest styczna, gdy jej odległość od środka okręgu równa się promieniowi.

Krok 1 — środek i promień. Okrąg ma środek $S=(0,\,0)$ i $r=\sqrt2$.

Krok 2 — prosta w postaci ogólnej: $x-y+1=0$, czyli $A=1$, $B=-1$, $C=1$.

Krok 3 — odległość środka od prostej:

$$d=\frac{|1\cdot0-1\cdot0+1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$

Krok 4 — porównanie. $d=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}71$, a $r=\sqrt2\approx1{,}41$. Ponieważ $dnie jest styczna — jest sieczną (przecina okrąg w dwóch punktach).

Odpowiedź: nie, prosta jest sieczną, bo $d

Krok 1 — środek odcinka:

$$S=\left(\frac{2+6}{2},\ \frac{1+5}{2}\right)=(4,\,3)$$

Krok 2 — współczynnik odcinka $AB$:

$$a_{AB}=\frac{5-1}{6-2}=1$$

Krok 3 — współczynnik symetralnej (prostopadła do $AB$):</