Różniczkujemy składnik po składniku:

$$\left(x^3\right)'=3x^2,\qquad (-6x)'=-6$$

$$f'(x)=3x^2-6$$

Odpowiedź: B. $3x^2-6$.

$$f'(x)=2x-8$$

$$2x-8=0 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Interpretacja: to argument wierzchołka paraboli — funkcja osiąga tam minimum.

Odpowiedź: $x=4$.

Zapisujemy $f(x)=x^{-1}$ i różniczkujemy:

$$f'(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$$

Kwadrat w mianowniku jest dodatni, więc pochodna jest ujemna dla każdego $x\neq0$.

Wniosek: funkcja maleje na całej swojej dziedzinie — osobno w $(-\infty,0)$ i osobno w $(0,+\infty)$.

Odpowiedź: $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, znak ujemny.

Przed maksimum funkcja rośnie (pochodna dodatnia), za maksimum maleje (pochodna ujemna).

Dla minimum jest odwrotnie: znak zmienia się z minusa na plus.

Odpowiedź: C. zmienia znak z plusa na minus.

Korzystamy z pochodnej funkcji złożonej — pochodna zewnętrzna razy pochodna wewnętrzna:

$$f'(x)=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2$$

Pułapka: pominięcie czynnika $2$ z pochodnej wewnętrznej.

Odpowiedź: $6(2x+1)^2$.

$$f'(x)=3x^2$$

Pochodna zeruje się w $x=0$, ale nie zmienia znaku — jest dodatnia po obu stronach zera.

Wniosek: zerowanie się pochodnej to warunek konieczny, ale nie wystarczający. Punkt $x=0$ jest tu punktem przegięcia.

Odpowiedź: A. nie ma ekstremum, choć $f'(0)=0$.

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$

Krok 2 — miejsca zerowe pochodnej: $x=-1$ i $x=1$.

Krok 3 — znak pochodnej. Parabola o ramionach w górę jest dodatnia na zewnątrz pierwiastków, ujemna między nimi.

Odpowiedź: funkcja rośnie w $(-\infty,-1\rangle$ oraz w $\langle1,+\infty)$, a maleje w $\langle-1,\,1\rangle$.

Krok 1 — punkty krytyczne (z poprzedniego rachunku): $x=-1$, $x=1$.

Krok 2 — rodzaj ekstremum. W $x=-1$ pochodna zmienia znak z $+$ na $-$ — maksimum. W $x=1$ z $-$ na $+$ — minimum.

Krok 3 — wartości:

$$f(-1)=-1+3=2,\qquad f(1)=1-3=-2$$

Odpowiedź: maksimum lokalne $2$ dla $x=-1$, minimum lokalne $-2$ dla $x=1$.

Styczna przechodzi przez punkt $\left(x_0,\,f(x_0)\right)$, a jej współczynnik kierunkowy to $f'(x_0)$.

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$

Odpowiedź: D. $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

Krok 1 — punkt styczności:

$$f(3)=9 \quad\Rightarrow\quad P=(3,\,9)$$

Krok 2 — współczynnik kierunkowy:

$$f'(x)=2x,\qquad f'(3)=6$$

Krok 3 — równanie:

$$y=6(x-3)+9=6x-9$$

Sprawdzenie: dla $x=3$ mamy $y=9$ ✔

Odpowiedź: $y=6x-9$.

Funkcja ciągła na przedziale domkniętym zawsze osiąga wartość największą i najmniejszą, ale mogą one wypaść na brzegu, gdzie pochodna wcale nie musi się zerować.

Odpowiedź: B. w punktach krytycznych oraz na końcach przedziału.

Krok 1 — punkt krytyczny:

$$f'(x)=2x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \in\langle0,\,3\rangle$$

Krok 2 — trzy wartości do porównania:

$$f(0)=1,\qquad f(2)=4-8+1=-3,\qquad f(3)=9-12+1=-2$$

Krok 3 — porównanie. Najmniejsza to $-3$, największa to $1$.

Odpowiedź: wartość najmniejsza $-3$ (dla $x=2$), największa $1$ (dla $x=0$).

Krok 1 — zmienne. Niech pierwsza liczba to $x$, wtedy druga to $20-x$.

Krok 2 — funkcja celu:

$$P(x)=x(20-x)=20x-x^2,\qquad x\in(0,\,20)$$

Krok 3 — pochodna:

$$P'(x)=20-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=10$$

Krok 4 — sprawdzenie rodzaju. Pochodna zmienia znak z $+$ na $-$, więc to maksimum.

Odpowiedź: obie liczby równe $10$, iloczyn wynosi $100$.

Zapisujemy pierwiastek jako potęgę i różniczkujemy:

$$f(x)=x^{\frac12},\qquad f'(x)=\tfrac12 x^{-\frac12}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Uwaga: wzór obowiązuje dla $x>0$.

Odpowiedź: A. $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Stosujemy wzór na pochodną ilorazu:

$$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$

Tutaj $u=x$, $u'=1$, $v=x+1$, $v'=1$:

$$f'(x)=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$$

Wniosek: pochodna jest dodatnia, więc funkcja rośnie na każdym z przedziałów swojej dziedziny.

Odpowiedź: $\frac{1}{(x+1)^2}$ dla $x\neq-1$.

Przy obwodzie $40$ suma sąsiednich boków wynosi $20$, więc pole to $P(x)=x(20-x)$.

$$P'(x)=20-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=10$$

Oba boki mają po $10$ — to kwadrat o polu $100$. Dla porównania: $15\times5$ daje $75$, a $18\times2$ tylko $36$.

Odpowiedź: C. kwadrat o boku $10$.

Krok 1 — zmienne. Krawędź podstawy $a$, wysokość $h$. Prostopadłościan ma $8$ krawędzi podstawy i $4$ pionowe:

$$8a+4h=60 \quad\Rightarrow\quad h=15-2a$$

Krok 2 — dziedzina. Musi być $a>0$ i $h>0$, czyli $0

Krok 3 — funkcja celu:

$$V(a)=a^2 h=a^2(15-2a)=15a^2-2a^3$$

Krok 4 — pochodna:

$$V'(a)=30a-6a^2=6a(5-a)$$

W dziedzinie pochodna zeruje się dla $a=5$ i zmienia tam znak z $+$ na $-$ — to maksimum.

Krok 5 — wymiary:

$$a=5\ \text{cm},\qquad h=15-10=5\ \text{cm}$$

Wychodzi sześcian o objętości $125$ cm$^3$.

Odpowiedź: sześcian o krawędzi $5$ cm, objętość $125$ cm$^3$.

Krok 1 — zmienne. Niech $x$ to długość każdego z dwóch boków prostopadłych do ściany, a $y$ — bok równoległy do niej. Grodzimy trzy boki:

$$2x+y=200 \quad\Rightarrow\quad y=200-2x$$

Krok 2 — dziedzina: $0

Krok 3 — funkcja celu:

$$P(x)=x(200-2x)=200x-2x^2$$

Krok 4 — pochodna:

$$P'(x)=200-4x=0 \quad\Rightarrow\quad x=50$$

Znak zmienia się z $+$ na $-$, więc to maksimum.

Krok 5 — wymiary i pole:

$$x=50\ \text{m},\qquad y=100\ \text{m},\qquad P=5000\ \text{m}^2$$

Warto zauważyć: to nie kwadrat — przy ścianie optymalny prostokąt ma bok równoległy dwa razy dłuższy.

Odpowiedź: $50$ m na $100$ m, pole $5000$ m$^2$.

Krok 1 — wymiary pudełka. Po wycięciu rogów podstawa ma bok $12-2x$, a wysokość wynosi $x$:

$$V(x)=x(12-2x)^2,\qquad 0

Krok 2 — rozwijamy:

$$V(x)=x(144-48x+4x^2)=4x^3-48x^2+144x$$

Krok 3 — pochodna:

$$V'(x)=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)=12(x-2)(x-6)$$

Krok 4 — wybór pierwiastka. Punkt $x=6$ odpada (poza dziedziną, podstawa miałaby bok zero). W $x=2$ pochodna zmienia znak z $+$ na $-$ — maksimum.

Krok 5 — objętość:

$$V(2)=2\cdot8^2=128\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $x=2$ cm, objętość $128$ cm$^3$.