$$a_n=a_1+(n-1)r$$

$$a_{10}=3+9\cdot4=3+36=39$$

Odpowiedź: B. Uwaga: mnożymy przez $n-1=9$, a nie przez $10$ — do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy.

Najpierw ostatni wyraz: $a_{10}=3+9\cdot4=39$.

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

$$S_{10}=\frac{3+39}{2}\cdot10=21\cdot10=210$$

Odpowiedź: $S_{10}=210$.

$$a_n=a_1q^{n-1}$$

$$a_5=2\cdot3^4=2\cdot81=162$$

Odpowiedź: C. Wykładnik to $n-1=4$, nie $5$.

$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\qquad(q\ne1)$$

$$S_5=2\cdot\frac{1-3^5}{1-3}=2\cdot\frac{1-243}{-2}=2\cdot\frac{-242}{-2}=2\cdot121=242$$

Odpowiedź: $S_5=242$.

Sprawdzenie: $2+6+18+54+162=242$. ✔

Zapisujemy oba wyrazy wzorem ogólnym:

$$a_3=a_1+2r=11,\qquad a_7=a_1+6r=27$$

Odejmujemy stronami:

$$4r=16 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Podstawiamy: $a_1+8=11$, więc $a_1=3$.

Odpowiedź: $a_1=3$, $r=4$.

Sprawdzamy różnice kolejnych wyrazów:

A: $2,4,8$ — różnice $2,4$ (to ciąg geometryczny o $q=2$)

B: różnice $3,5,7$ — to kolejne kwadraty

C: różnice $3,3,3$ — stała ✔

D: ciąg Fibonacciego

Odpowiedź: C.

Korzystamy z własności średniej geometrycznej: $a_2^2=a_1\cdot a_3$.

$$6^2=36,\qquad 2\cdot18=36$$

Równość zachodzi, więc liczby tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q=\frac{6}{2}=3$.

Odpowiedź: tak, $q=3$.

Krok 1 — wyrazy skrajne. Najmniejsza taka liczba to $14$, największa $98$.

To ciąg arytmetyczny o $a_1=14$ i $r=7$.

Krok 2 — ile jest wyrazów:

$$98=14+(n-1)\cdot7 \quad\Rightarrow\quad 84=7(n-1) \quad\Rightarrow\quad n=13$$

Krok 3 — suma:

$$S_{13}=\frac{14+98}{2}\cdot13=56\cdot13=728$$

Odpowiedź: $728$.

Dla $|q|<1$ kolejne wyrazy dążą do zera dostatecznie szybko i suma nieskończona jest liczbą skończoną:

$$S=\frac{a_1}{1-q}$$

Odpowiedź: B. Dla $|q|\ge1$ szereg jest rozbieżny.

Tutaj $a_1=1$, $q=\frac12$. Sprawdzamy zbieżność: $\left|\frac12\right|<1$. ✔

$$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac12}=\frac{1}{\frac12}=2$$

Odpowiedź: $S=2$.

Rozpisujemy liczbę jako szereg:

$$0{,}(3)=0{,}3+0{,}03+0{,}003+\dots$$

To szereg geometryczny o $a_1=0{,}3$ i $q=0{,}1$, zbieżny bo $|q|<1$.

$$S=\frac{0{,}3}{1-0{,}1}=\frac{0{,}3}{0{,}9}=\frac{1}{3}$$

Odpowiedź: $0{,}(3)=\frac13$.

$$K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$

$$K_3=1\,000\cdot1{,}05^3=1\,000\cdot1{,}157625\approx1\,157{,}63\ \text{zł}$$

Odpowiedź: około $1\,157{,}63$ zł.

Porównanie: przy procencie prostym byłoby tylko $1\,150$ zł — różnica bierze się z oprocentowania odsetek.

W ciągu arytmetycznym zachodzi ogólna własność:

$$a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}$$

dla dowolnego $k$. Dla $n=3$ działa to zarówno dla pary $a_2,a_4$ ($k=1$), jak i $a_1,a_5$ ($k=2$).

Odpowiedź: A.

Z własności ciągu arytmetycznego środkowy wyraz jest średnią sąsiednich:

$$x+3=\frac{(x-1)+(3x+1)}{2}$$

$$2(x+3)=4x$$

$$2x+6=4x \quad\Rightarrow\quad 2x=6 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Odpowiedź: $x=3$.

Sprawdzenie: wyrazy to $2$, $6$, $10$ — różnica stała $4$. ✔

Z własności średniej geometrycznej:

$$x^2=2\cdot18=36$$

$$x=6 \quad\text{lub}\quad x=-6$$

Odpowiedź: $x=6$ (ciąg $2,6,18$, $q=3$) lub $x=-6$ (ciąg $2,-6,18$, $q=-3$).

Uwaga: pominięcie rozwiązania ujemnego to częsty błąd — iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny.

Obliczamy różnicę kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_n=[5-2(n+1)]-[5-2n]=-2$$

Różnica jest stała i ujemna, więc ciąg jest arytmetyczny i malejący.

Odpowiedź: D. Kolejne wyrazy to $3,1,-1,-3,\dots$

Korzystamy ze wzoru na sumę w postaci z $a_1$ i $r$:

$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n$$

$$440=\frac{10+3(n-1)}{2}\cdot n=\frac{3n+7}{2}\cdot n$$

$$880=3n^2+7n \quad\Rightarrow\quad 3n^2+7n-880=0$$

$$\Delta=49+4\cdot3\cdot880=49+10\,560=10\,609,\qquad \sqrt{\Delta}=103$$

$$n=\frac{-7+103}{6}=16 \qquad\text{(drugi pierwiastek ujemny — odrzucamy)}$$

Odpowiedź: $16$ wyrazów.

$$a_4=a_1q^3$$

$$6=48q^3 \quad\Rightarrow\quad q^3=\frac{6}{48}=\frac{1}{8}$$

$$q=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$$

Odpowiedź: $q=\frac12$.

Sprawdzenie: $48,24,12,6$. ✔

Ze wzoru na sumę szeregu zbieżnego:

$$S=\frac{a_1}{1-q} \quad\Rightarrow\quad 8=\frac{6}{1-q}$$

$$8(1-q)=6 \quad\Rightarrow\quad 8-8q=6 \quad\Rightarrow\quad q=\frac{1}{4}$$

Sprawdzenie warunku zbieżności: $\left|\frac14\right|<1$. ✔

Odpowiedź: $q=\frac14$.

Krok 1 — sprytne oznaczenie. Zapisujemy wyrazy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — dzięki temu suma upraszcza się natychmiast:

$$(a-r)+a+(a+r)=3a=18 \quad\Rightarrow\quad a=6$$

Krok 2 — iloczyn:

$$(6-r)\cdot6\cdot(6+r)=192$$

$$6(36-r^2)=192 \quad\Rightarrow\quad 36-r^2=32 \quad\Rightarrow\quad r^2=4$$

$$r=2 \quad\text{lub}\quad r=-2$$

Odpowiedź: wyrazy to $4$, $6$, $8$ (dla $r=2$) lub $8$, $6$, $4$ (dla $r=-2$).

Sprawdzenie: $4+6+8=18$ oraz $4\cdot6\cdot8=192$. ✔