Wzory Viète'a dla równania $x^2+bx+c=0$ (współczynnik przy $x^2$ równy $1$):

$$x_1+x_2=-b,\qquad x_1\cdot x_2=c$$

Uwaga na znak: suma to $-b$ (z minusem), a iloczyn to $c$ (bez zmiany znaku).

Odpowiedź: B. $-b$.

Odczytujemy współczynniki: $b=-7$, $c=10$.

$$x_1+x_2=-b=7,\qquad x_1\cdot x_2=c=10$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $2$ i $5$, a $2+5=7$ oraz $2\cdot5=10$ ✔

Odpowiedź: suma $7$, iloczyn $10$.

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Uwaga: gdy współczynnik $a\neq1$, dzielimy przez $a$. Dla $a=1$ wzory upraszczają się do $-b$ i $c$.

Odpowiedź: jak wyżej.

Współczynniki: $a=2$, $b=-8$, $c=6$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-8}{2}=4$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $1$ i $3$, a $1+3=4$ ✔

Odpowiedź: C. $4$.

Współczynniki: $a=3$, $c=-12$:

$$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{-12}{3}=-4$$

Uwaga na znak: ujemny iloczyn oznacza, że pierwiastki mają przeciwne znaki.

Odpowiedź: $-4$.

Iloczyn dwóch liczb jest ujemny tylko wtedy, gdy jedna jest dodatnia, a druga ujemna:

$$x_1\cdot x_2<0 \quad\Rightarrow\quad \text{różne znaki}$$

Zastosowanie: wzory Viète'a pozwalają określić znaki pierwiastków bez ich liczenia — wystarczą znaki sumy i iloczynu.

Odpowiedź: A. mają różne znaki.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=6,\qquad x_1 x_2=8$$

Krok 2 — kluczowa tożsamość:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$x_1^2+x_2^2=6^2-2\cdot8=36-16=20$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $2$ i $4$, a $4+16=20$ ✔

Idea. Wzory Viète'a pozwalają liczyć wyrażenia symetryczne w pierwiastkach bez wyznaczania samych pierwiastków.

Odpowiedź: $x_1^2+x_2^2=20$.

Krok 1 — suma i iloczyn:

$$x_1+x_2=3+(-5)=-2,\qquad x_1 x_2=3\cdot(-5)=-15$$

Krok 2 — budujemy równanie. Dla postaci $x^2-(x_1+x_2)x+x_1 x_2=0$:

$$x^2-(-2)x+(-15)=0 \quad\Rightarrow\quad x^2+2x-15=0$$

Sprawdzenie: $(x-3)(x+5)=x^2+2x-15$ ✔

Odpowiedź: $x^2+2x-15=0$.

Suma pierwiastków to $-p$:

$$x_1+x_2=2+3=5=-p \quad\Rightarrow\quad p=-5$$

Sprawdzenie: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ ✔

Odpowiedź: D. $p=-5$.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=10,\qquad x_1 x_2=21$$

Krok 2 — sprowadzamy sumę odwrotności do wspólnego mianownika:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$\frac{10}{21}$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $3$ i $7$, a $\frac13+\frac17=\frac{7+3}{21}=\frac{10}{21}$ ✔

Odpowiedź: $\frac{10}{21}$.

Dodatni iloczyn oznacza jednakowe znaki pierwiastków. Dodatnia suma przy jednakowych znakach wymusza, by oba były dodatnie.

Rozumowanie: gdyby oba były ujemne, ich suma byłaby ujemna — sprzeczność.

Odpowiedź: B. dodatnie.

Krok 1 — warunek równych pierwiastków: $\Delta=0$.

Krok 2 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=m^2-4\cdot1\cdot9=m^2-36$$

Krok 3 — przyrównujemy do zera:

$$m^2-36=0 \quad\Rightarrow\quad m=6 \ \text{lub}\ m=-6$$

Kontrola przez Viète'a. Dla równych pierwiastków $x_1=x_2=t$ mamy $t^2=9$, więc $t=\pm3$, a suma $2t=\pm6=m$ ✔

Odpowiedź: $m=6$ lub $m=-6$.

Krok 1 — dane wyjściowe. Dla $x^2-5x+6=0$: $x_1+x_2=5$, $x_1 x_2=6$.

Krok 2 — suma nowych pierwiastków $\frac{1}{x_1}$ i $\frac{1}{x_2}$:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}=\frac{5}{6}$$

Krok 3 — iloczyn nowych pierwiastków:

$$\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1 x_2}=\frac16$$

Krok 4 — budujemy równanie:

$$x^2-\frac56 x+\frac16=0 \quad\Big|\cdot6 \quad\Rightarrow\quad 6x^2-5x+1=0$$

Sprawdzenie: pierwiastki wyjściowe to $2$ i $3$, ich odwrotności $\frac12$ i $\frac13$, a $6x^2-5x+1=(2x-1)(3x-1)$ ✔

Odpowiedź: $6x^2-5x+1=0$.

Z sumy Viète'a $x_1+x_2=-4$:

$$1+x_2=-4 \quad\Rightarrow\quad x_2=-5$$

Sprawdzenie: iloczyn to $1\cdot(-5)=-5=c$, a $x^2+4x-5=(x-1)(x+5)$ ✔

Odpowiedź: C. $-5$.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=8,\qquad x_1 x_2=15$$

Krok 2 — tożsamość:

$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1 x_2$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$(x_1-x_2)^2=64-60=4$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $3$ i $5$, a $(3-5)^2=4$ ✔

Uwaga. $(x_1-x_2)^2$ zawsze wychodzi nieujemnie — to kontrola poprawności rachunku.

Odpowiedź: $4$.

Pierwiastki przeciwne to $x_1$ i $-x_1$. Ich suma:

$$x_1+(-x_1)=0=-b \quad\Rightarrow\quad b=0$$

Przykład: $x^2-9=0$ ma pierwiastki $3$ i $-3$ — współczynnik przy $x$ wynosi zero.

Odpowiedź: A. $b=0$.

Krok 1 — trzy warunki na dwa dodatnie pierwiastki. Potrzeba: $\Delta\ge0$, suma $>0$, iloczyn $>0$.

Krok 2 — wyróżnik:

$$\Delta=(m+1)^2-4m=m^2-2m+1=(m-1)^2\ge0$$

To zachodzi zawsze — wyróżnik jest kwadratem.

Krok 3 — suma pierwiastków:

$$x_1+x_2=m+1>0 \quad\Rightarrow\quad m>-1$$

Krok 4 — iloczyn pierwiastków:

$$x_1 x_2=m>0 \quad\Rightarrow\quad m>0$$

Krok 5 — część wspólna warunków:

$$m>0$$

Wniosek. Warunek $m>0$ jest najostrzejszy i pochłania $m>-1$. Wyróżnik nie nakłada ograniczeń.

Sprawdzenie dla $m=4$: $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$ — pierwiastki $1$ i $4$, oba dodatnie ✔

Odpowiedź: $m>0$.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=6,\qquad x_1 x_2=m$$

Krok 2 — tożsamość na sumę kwadratów:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=36-2m$$

Krok 3 — podstawiamy warunek zadania:

$$36-2m=20 \quad\Rightarrow\quad 2m=16 \quad\Rightarrow\quad m=8$$

Krok 4 — kontrola istnienia pierwiastków. Dla $m=8$: $\Delta=36-32=4>0$ ✔ — pierwiastki istnieją i są rzeczywiste.

Sprawdzenie: pierwiastki to $2$ i $4$, a $4+16=20$ ✔

Odpowiedź: $m=8$.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1 x_2=12$$

Krok 2 — tożsamość:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=p^2-24$$

Krok 3 — warunek zadania:

$$p^2-24=25 \quad\Rightarrow\quad p^2=49 \quad\Rightarrow\quad p=7 \ \text{lub}\ p=-7$$

Krok 4 — sprawdzamy istnienie pierwiastków. $\Delta=p^2-48=49-48=1>0$ dla obu wartości ✔

Dlaczego dwie odpowiedzi. Suma kwadratów zależy od $p^2$, więc znak $p$ nie ma znaczenia — dostajemy parę wartości przeciwnych.

Odpowiedź: $p=7$ lub $p=-7$.