Szukamy wykładnika, do którego podnosimy $2$, by otrzymać $8$:

$$2^3=8 \quad\Rightarrow\quad \log_2 8=3$$

Odpowiedź: B. $3$.

$$3^4=81 \quad\Rightarrow\quad \log_3 81=4$$

$$10^3=1000 \quad\Rightarrow\quad \log_{10}1000=3$$

Odpowiedź: $4$ oraz $3$.

Logarytm z jedynki zawsze wynosi zero, bo $a^0=1$:

$$\log_5 1=0$$

Logarytm liczby przy jej własnej podstawie to $1$, bo $a^1=a$:

$$\log_7 7=1$$

Odpowiedź: $0$ oraz $1$.

Logarytm iloczynu to suma logarytmów:

$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$$

Skąd to wynika: mnożeniu liczb odpowiada dodawanie wykładników — logarytm zamienia mnożenie na dodawanie.

Odpowiedź: C. $\log_a x+\log_a y$.

Sposób 1 — osobno:

$$\log_2 4+\log_2 8=2+3=5$$

Sposób 2 — logarytm iloczynu:

$$\log_2(4\cdot8)=\log_2 32=5$$

Oba dają ten sam wynik ✔

Odpowiedź: $5$.

Logarytm ilorazu to różnica logarytmów:

$$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$$

Odpowiedź: A. $\log_a x-\log_a y$.

Krok 1 — logarytm różnicy zamieniamy na logarytm ilorazu:

$$\log_2 48-\log_2 3=\log_2\frac{48}{3}=\log_2 16$$

Krok 2 — obliczamy:

$$\log_2 16=4$$

Zaleta metody: $\log_2 48$ osobno jest trudny, ale różnica daje wygodną liczbę $16$.

Odpowiedź: $4$.

Logarytm potęgi to iloczyn wykładnika i logarytmu podstawy:

$$\log_a x^n=n\log_a x$$

Uwaga: to nie to samo co $(\log_a x)^n$ — wykładnik „schodzi przed" logarytm, a nie potęguje go.

Odpowiedź: D. $n\log_a x$.

Sposób 1 — reguła potęgi:

$$\log_3 9^5=5\log_3 9=5\cdot2=10$$

Sposób 2 — najpierw potęga. $9=3^2$, więc $9^5=3^{10}$, a $\log_3 3^{10}=10$.

Oba dają $10$ ✔

Odpowiedź: $10$.

Wzór na zmianę podstawy:

$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Obliczamy $\log_4 8$, przechodząc na podstawę $2$:

$$\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac{3}{2}$$

Sprawdzenie: $4^{3/2}=\left(\sqrt4\right)^3=2^3=8$ ✔

Odpowiedź: $\log_4 8=\frac32$.

$$2^5=32 \quad\Rightarrow\quad \log_2 32=5$$

Odpowiedź: B. $5$.

Krok 1 — logarytm iloczynu:

$$\log_6 4+\log_6 9=\log_6(4\cdot9)=\log_6 36$$

Krok 2 — obliczamy:

$$6^2=36 \quad\Rightarrow\quad \log_6 36=2$$

Idea. Ani $\log_6 4$, ani $\log_6 9$ nie są „ładne", ale ich suma tak — łączenie logarytmów często upraszcza rachunek.

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — wciągamy współczynnik jako wykładnik:

$$2\log_a 3=\log_a 3^2=\log_a 9$$

Krok 2 — łączymy sumę w logarytm iloczynu:

$$\log_a 9+\log_a 5=\log_a(9\cdot5)=\log_a 45$$

Odpowiedź: $\log_a 45$.

Ze wzoru na zmianę podstawy $\log_b a=\frac{1}{\log_a b}$, więc:

$$\log_a b\cdot\log_b a=\log_a b\cdot\frac{1}{\log_a b}=1$$

Wniosek: logarytmy $\log_a b$ i $\log_b a$ są swoimi odwrotnościami.

Odpowiedź: C. $1$.

Krok 1 — zamieniamy $\log_5 8$ na podstawę $2$:

$$\log_5 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 5}$$

Krok 2 — mnożymy:

$$\log_2 5\cdot\frac{\log_2 8}{\log_2 5}=\log_2 8=3$$

Efektowne skrócenie: $\log_2 5$ się skraca, zostaje $\log_2 8=3$.

Odpowiedź: $3$.

Logarytm jest określony tylko dla liczb dodatnich:

$$x>0$$

Dlaczego: nie istnieje wykładnik, do którego podniesiona dodatnia podstawa dałaby liczbę ujemną lub zero.

Odpowiedź: A. $x>0$.

Krok 1 — łączymy wszystko w jeden logarytm. Różnica to iloraz, suma to iloczyn:

$$\log_2 6-\log_2 3+\log_2 4=\log_2\frac{6\cdot4}{3}$$

Krok 2 — upraszczamy ułamek:

$$\log_2\frac{24}{3}=\log_2 8$$

Krok 3 — obliczamy:

$$\log_2 8=3$$

Uwaga na kolejność znaków. Wyraz $-\log_2 3$ trafia do mianownika, a $+\log_2 4$ do licznika. Znak logarytmu decyduje o jego miejscu w ułamku.

Odpowiedź: $3$.

Krok 1 — rozkładamy $12$ na czynniki:

$$12=4\cdot3=2^2\cdot3$$

Krok 2 — logarytm iloczynu:

$$\log_2 12=\log_2\left(2^2\cdot3\right)=\log_2 2^2+\log_2 3$$

Krok 3 — obliczamy każdy składnik:

$$\log_2 2^2=2,\qquad \log_2 3=a$$

Krok 4 — łączymy:

$$\log_2 12=2+a$$

Metoda. Gdy jeden logarytm jest dany jako parametr, rozkładamy liczbę na czynniki tak, by pojawiły się: podstawa (daje liczbę) i znany czynnik.

Odpowiedź: $\log_2 12=a+2$.