Krok 1 — wyróżnik:

$$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$

Krok 2 — pierwiastki:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}$$

$$x_1=\frac{4}{2}=2,\qquad x_2=\frac{6}{2}=3$$

Odpowiedź: B. Sprawdzenie wzorami Viète’a: suma $2+3=5=\frac{-b}{a}$ ✔, iloczyn $2\cdot3=6=\frac{c}{a}$ ✔

$$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25$$

Odpowiedź: A.

Uwaga: $b=-7$, ale $b^2=49$ — kwadrat usuwa znak. Odpowiedź B to typowy błąd polegający na pominięciu członu $-4ac$.

$$\Delta=2^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16$$

Wyróżnik jest ujemny, więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odpowiedź: C.

Interpretacja: parabola $y=x^2+2x+5$ ma ramiona w górę i leży w całości nad osią $OX$ — nigdy jej nie przecina.

To równanie niezupełne (brak wyrazu z $x$) — nie musimy liczyć delty.

$$3x^2=12 \quad\Rightarrow\quad x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2$$

Odpowiedź: $x=-2$ lub $x=2$.

Uwaga: z $x^2=4$ wynikają dwa rozwiązania. Zapisanie samego $x=2$ to najczęstszy błąd.

Wyłączamy $x$ przed nawias:

$$x(x-6)=0$$

Iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x-6=0 \Rightarrow x=6$$

Odpowiedź: $x=0$ lub $x=6$.

Ostrzeżenie: nigdy nie dziel obu stron przez $x$ — straciłbyś rozwiązanie $x=0$.

$$\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0$$

Delta równa zero oznacza jeden pierwiastek podwójny:

$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2$$

Odpowiedź: D. Można też zauważyć wzór skróconego mnożenia: $x^2-4x+4=(x-2)^2=0$.

Najpierw upewniamy się, że pierwiastki istnieją:

$$\Delta=49-40=9>0 \quad\checkmark$$

Stosujemy wzory Viète’a ($a=1$, $b=-7$, $c=10$):

$$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=7$$

$$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=10$$

Odpowiedź: suma $=7$, iloczyn $=10$.

Weryfikacja: pierwiastkami są $2$ i $5$ — istotnie $2+5=7$ i $2\cdot5=10$. ✔

Korzystamy z tożsamości:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$

Podstawiamy dane:

$$x_1^2+x_2^2=5^2-2\cdot 6=25-12=13$$

Odpowiedź: $13$.

Sprawdzenie: pierwiastkami są $2$ i $3$, więc $4+9=13$. ✔ Ta tożsamość pozwala policzyć wynik bez wyznaczania pierwiastków.

Krok 1 — odcięta wierzchołka:

$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — rzędna (najbezpieczniej przez podstawienie):

$$q=f(3)=9-18+5=-4$$

Odpowiedź: A. Wierzchołek $W=(3,-4)$, a postać kanoniczna to $f(x)=(x-3)^2-4$.

Krok 1 — miejsca zerowe: $x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2$.

Krok 2 — szkic. Współczynnik $a=1>0$, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Parabola jest poniżej osi $OX$ między miejscami zerowymi.

Krok 3 — odczyt. Nierówność jest ostra, więc końce wykluczamy:

$$x\in(-2,\,2)$$

Odpowiedź: $x\in(-2,2)$.

Krok 1 — miejsca zerowe: $\Delta=25-24=1$, stąd $x_1=2$, $x_2=3$.

Krok 2 — szkic. $a=1>0$, ramiona w górę. Wartości dodatnie parabola przyjmuje na zewnątrz miejsc zerowych.

Krok 3 — odczyt:

$$x\in(-\infty,\,2)\cup(3,\,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,2)\cup(3,+\infty)$.

Zapamiętaj: dla $a>0$ nierówność „$>0$" daje dwa przedziały zewnętrzne, a „$<0$" — jeden przedział wewnętrzny.

Metoda 1 — uzupełnianie do kwadratu:

$$x^2-4x+7=(x^2-4x+4)-4+7=(x-2)^2+3$$

Metoda 2 — ze wzorów: $p=\frac{4}{2}=2$, $q=f(2)=4-8+7=3$.

Odpowiedź: $f(x)=(x-2)^2+3$, wierzchołek $W=(2,3)$.

Wniosek: ponieważ $a>0$ i $q=3>0$, funkcja nie ma miejsc zerowych, a jej najmniejsza wartość wynosi $3$.

Krok 1 — miejsca zerowe:

$$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25,\qquad \sqrt{\Delta}=5$$

$$x_1=\frac{1-5}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{1+5}{2}=3$$

Krok 2 — postać iloczynowa $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$:

$$f(x)=(x+2)(x-3)$$

Odpowiedź: C.

Uwaga na znaki: pierwiastek $-2$ daje czynnik $(x+2)$, bo $x-(-2)=x+2$.

Ponieważ $a=1>0$, ramiona paraboli są skierowane w górę — funkcja osiąga minimum w wierzchołku.

$$p=\frac{2}{2}=1$$

$$q=f(1)=1-2+5=4$$

Odpowiedź: najmniejsza wartość wynosi $4$ i jest przyjmowana dla $x=1$.

Sprawdzenie: postać kanoniczna $f(x)=(x-1)^2+4$ — kwadrat jest nieujemny, więc $f(x)\ge 4$. ✔

Dwa różne pierwiastki istnieją dokładnie wtedy, gdy $\Delta>0$.

$$\Delta=m^2-4\cdot1\cdot4=m^2-16$$

$$m^2-16>0$$

Rozwiązujemy nierówność kwadratową względem $m$. Miejsca zerowe: $m=\pm 4$; ramiona w górę, więc wartości dodatnie są na zewnątrz:

$$m\in(-\infty,\,-4)\cup(4,\,+\infty)$$

Odpowiedź: $m<-4$ lub $m>4$.

Sprawdzenie: dla $m=5$ mamy $\Delta=9>0$ ✔; dla $m=0$ mamy $\Delta=-16<0$ ✘

Krok 1 — podstawienie. Niech $t=x^2$, przy czym $t\ge 0$:

$$t^2-5t+4=0$$

Krok 2 — rozwiązanie względem $t$:

$$\Delta=25-16=9,\qquad t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$

$$t_1=1,\qquad t_2=4$$

Oba spełniają warunek $t\ge 0$. ✔

Krok 3 — powrót do $x$:

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,\qquad x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,-1,1,2\}$ — cztery rozwiązania.

Krok 1 — układ równań. Niech $a$, $b$ będą bokami:

$$2(a+b)=20 \Rightarrow a+b=10$$

$$a\cdot b=21$$

Krok 2 — interpretacja przez wzory Viète’a. Skoro suma wynosi $10$, a iloczyn $21$, to $a$ i $b$ są pierwiastkami równania:

$$x^2-10x+21=0$$

Krok 3 — rozwiązanie:

$$\Delta=100-84=16,\qquad x_{1,2}=\frac{10\pm 4}{2}$$

$$x_1=3,\qquad x_2=7$$

Odpowiedź: boki mają $3$ cm i $7$ cm.

Sprawdzenie: obwód $2(3+7)=20$ ✔, pole $3\cdot7=21$ ✔

Wyłączamy wspólny czynnik:

$$-x^2+4x=0 \quad\Rightarrow\quad -x(x-4)=0$$

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x=4$$

Odpowiedź: B.

Dodatkowo: $a=-1<0$, więc ramiona są skierowane w dół, a wierzchołek $(2,4)$ to maksimum funkcji.

Dokładnie jedno rozwiązanie (pierwiastek podwójny) występuje, gdy $\Delta=0$.

$$\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot m=36-4m$$

$$36-4m=0 \quad\Rightarrow\quad m=9$$

Odpowiedź: $m=9$.

Sprawdzenie: dla $m=9$ równanie ma postać $x^2-6x+9=(x-3)^2=0$, czyli $x=3$ — jeden pierwiastek podwójny. ✔

Krok 1 — miejsca zerowe. Wyłączamy czynnik:

$$2x(x-4)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \ \text{lub}\ x=4$$

Krok 2 — szkic. $a=2>0$, ramiona w górę, więc wartości niedodatnie parabola przyjmuje między miejscami zerowymi.

Krok 3 — odczyt. Nierówność jest nieostra ($\le$), więc końce należą do rozwiązania:

$$x\in\langle 0,\,4\rangle$$

Odpowiedź: $x\in\langle 0,4\rangle$.

Uwaga: przy nierówności nieostrej używamy nawiasów domkniętych — pominięcie tego to częsty błąd punktowany na maturze.