Krok 1 — przenosimy wyraz wolny:

$$3x=15$$

Krok 2 — dzielimy przez $3$:

$$x=5$$

Sprawdzenie: $3\cdot5-7=8$ ✔

Odpowiedź: A. $x=5$.

Krok 1 — opuszczamy nawias:

$$2x+6=4x-2$$

Krok 2 — grupujemy niewiadome po jednej stronie:

$$6+2=4x-2x \quad\Rightarrow\quad 8=2x$$

Krok 3 — dzielimy:

$$x=4$$

Sprawdzenie: $2\cdot7=14$ oraz $16-2=14$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — dodajemy $5$ stronami:

$$2x<12$$

Krok 2 — dzielimy przez $2$. Liczba jest dodatnia, więc znak nierówności zostaje bez zmian:

$$x<6$$

Krok 3 — zapis przedziałowy:

$$x\in(-\infty,\ 6)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\ 6)$.

Mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną odwraca kierunek nierówności:

$$-2x<6 \quad\Longleftrightarrow\quad x>-3$$

Dlaczego tak: na osi liczbowej mnożenie przez liczbę ujemną odbija punkty symetrycznie względem zera, więc porządek się odwraca. Zachodzi $2<5$, ale $-2>-5$.

Odpowiedź: B. odwracamy znak.

Dzielimy przez $-3$ i odwracamy znak:

$$x\le-4$$

$$x\in(-\infty,\ -4\rangle$$

Sprawdzenie: dla $x=-5$ mamy $-3\cdot(-5)=15\ge12$ ✔, a dla $x=0$ dostajemy $0\ge12$ — fałsz ✔

Odpowiedź: $x\le-4$.

Krok 1 — opuszczamy nawias po prawej:

$$2x+4=2x+4$$

Krok 2 — odejmujemy $2x$ stronami:

$$4=4$$

Otrzymaliśmy zdanie zawsze prawdziwe, więc równanie spełnia każda liczba rzeczywista. Takie równanie nazywamy tożsamościowym.

Odpowiedź: C. nieskończenie wiele.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez wspólny mianownik $12$:

$$4x-3x=24$$

Krok 2 — redukujemy:

$$x=24$$

Sprawdzenie: $\frac{24}{3}-\frac{24}{4}=8-6=2$ ✔

Wskazówka: mnożenie przez NWW mianowników od razu usuwa wszystkie ułamki — to najszybsza droga w takich równaniach.

Odpowiedź: $x=24$.

Krok 1 — mnożymy przez $10$. Liczba jest dodatnia, więc znak zostaje:

$$5(x-1)\ge2(x+3)$$

Krok 2 — opuszczamy nawiasy:

$$5x-5\ge2x+6$$

Krok 3 — grupujemy:

$$3x\ge11 \quad\Rightarrow\quad x\ge\frac{11}{3}$$

$$x\in\left\langle\tfrac{11}{3},\ +\infty\right)$$

Sprawdzenie dla $x=4$: $\frac32\ge\frac75$, czyli $1{,}5\ge1{,}4$ ✔

Odpowiedź: $x\ge\frac{11}{3}$.

Odejmujemy $3x$ stronami:

$$1=-5$$

Otrzymaliśmy zdanie fałszywe, więc żadna liczba nie spełnia równania. Takie równanie nazywamy sprzecznym.

Jak rozpoznać od razu: po obu stronach stoi ten sam wyraz z niewiadomą, ale różne wyrazy wolne.

Odpowiedź: B. brak rozwiązań.

Krok 1 — łączymy warunki:

$$-2

Krok 2 — zapis przedziałowy. Nawias okrągły przy $-2$ (nierówność ostra) i kątowy przy $5$ (nieostra):

$$x\in(-2,\ 5\rangle$$

Kontrola krańcami: liczba $5$ należy do zbioru, bo $5\le5$ ✔ Liczba $-2$ nie należy, bo $-2>-2$ jest fałszem ✔

Odpowiedź: $(-2,\ 5\rangle$.

Nierówność jest nieostra, więc liczba $3$ należy do zbioru rozwiązań — po jej stronie stawiamy nawias kątowy.

Przy nieskończoności zawsze nawias okrągły, bo $-\infty$ nie jest liczbą i nie może należeć do zbioru.

Odpowiedź: B. $(-\infty,\ 3\rangle$.

Krok 1 — pierwsza nierówność:

$$x>1$$

Krok 2 — druga nierówność:

$$x<5$$

Krok 3 — część wspólna. Szukamy liczb spełniających oba warunki naraz:

$$1

Uwaga: przy układzie nierówności bierzemy przecięcie zbiorów, nie sumę. Gdyby zadanie mówiło „lub”, wynik byłby inny.

Odpowiedź: $x\in(1,\ 5)$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $n$ będzie pierwszą z nich:

$$n,\qquad n+1,\qquad n+2$$

Krok 2 — równanie:

$$n+(n+1)+(n+2)=78 \quad\Rightarrow\quad 3n+3=78$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$3n=75 \quad\Rightarrow\quad n=25$$

Krok 4 — liczby: $25$, $26$, $27$.

Sprawdzenie: $25+26+27=78$ ✔

Skrót: suma trzech kolejnych liczb to potrojona liczba środkowa, więc od razu $78:3=26$ — a stąd sąsiedzi $25$ i $27$.

Odpowiedź: $25$, $26$, $27$.

Wartość bezwzględna to odległość od zera, a w odległości $5$ od zera leżą dwa punkty:

$$x=5 \quad\text{lub}\quad x=-5$$

Uwaga: równanie $|x|=-5$ nie ma rozwiązań, bo odległość nigdy nie jest ujemna.

Odpowiedź: C. $5$ oraz $-5$.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy:

$$5x-10-3x-3=1$$

Krok 2 — redukujemy lewą stronę:

$$2x-13=1$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$2x=14 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Sprawdzenie: $5\cdot5-3\cdot8=25-24=1$ ✔

Uwaga na drugi nawias: mnożymy przez $-3$, więc $-3\cdot(+1)=-3$.

Odpowiedź: $x=7$.

Dzielimy obie strony przez $2$. Liczba jest dodatnia, więc znak zostaje:

$$x>3$$

Odpowiedź: A. $x>3$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ będzie szukaną liczbą lat. Za $x$ lat ojciec będzie miał $42+x$, a syn $12+x$.

Krok 2 — równanie:

$$42+x=2(12+x)$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$42+x=24+2x \quad\Rightarrow\quad 18=x$$

Krok 4 — sprawdzenie. Za $18$ lat ojciec będzie miał $60$ lat, a syn $30$ — i rzeczywiście $60=2\cdot30$ ✔

Uwaga metodyczna. Do obu wieków dodajemy tę samą liczbę lat. Częsty błąd to dodanie $x$ tylko po jednej stronie.

Odpowiedź: za $18$ lat.

Krok 1 — odejmujemy $1$ od wszystkich trzech części:

$$-4<2x\le6$$

Krok 2 — dzielimy wszystko przez $2$. Liczba jest dodatnia, więc oba znaki zostają:

$$-2

Krok 3 — zapis przedziałowy:

$$x\in(-2,\ 3\rangle$$

Kontrola krańcami. Dla $x=3$: $2\cdot3+1=7$, a warunek dopuszcza równość ✔ Dla $x=-2$: $2\cdot(-2)+1=-3$, ale lewa nierówność jest ostra, więc $-2$ nie należy ✔

Ważne. Każdą operację wykonujemy na wszystkich trzech częściach naraz — nierówność podwójna to skrót zapisu dwóch warunków.

Odpowiedź: $x\in(-2,\ 3\rangle$.